サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）とサブセット（部分集合）のユニオン（和集合）はサブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のユニオン（和集合）たちのインターセクション（共通集合）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）と任意のサブセット（部分集合）のユニオン（和集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のユニオン（和集合）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S'\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{S_j \subseteq S' \vert j \in J\}\):
\(S\): \(S \subseteq S'\)
//
ステートメント（言明）たち:
\((\cap_{j \in J} S_j) \cup S = \cap_{j \in J} (S_j \cup S)\).
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(s \in (\cap_{j \in J} S_j) \cup S\)に対して、\(s \in \cap_{j \in J} (S_j \cup S)\)であることを見る; ステップ2: 各\(s \in \cap_{j \in J} (S_j \cup S)\)に対して、\(s \in (\cap_{j \in J} S_j) \cup S\)であることを見る。
ステップ1:
\(s \in (\cap_{j \in J} S_j) \cup S\)を任意のものとしよう。
1) \(s \in \cap_{j \in J} S_j\)または2) \(s \in S\)。
1)を仮定しよう。
各\(j \in J\)に対して、\(s \in S_j\)。したがって、\(s \in S_j \cup S\)。したがって、\(s \in \cap_{j \in J} (S_j \cup S)\)。
2)を仮定しよう。
各\(j \in J\)に対して、\(s \in S_j \cup S\)。したがって、\(s \in \cap_{j \in J} (S_j \cup S)\)。
したがって、いずれにせよ、\(s \in \cap_{j \in J} (S_j \cup S)\)。
ステップ2:
\(s \in \cap_{j \in J} (S_j \cup S)\)を任意のものとしよう。
各\(j \in J\)に対して、\(s \in S_j \cup S\)。したがって、1) \(s \in S_j\)または2) \(s \in S\)。
2)を仮定しよう。
\(s \in (\cap_{j \in J} S_j) \cup S\)。
2)は成立しないと仮定しよう。
すると、各\(j \in J\)に対して、\(s \in S_j\)。
すると、\(s \in (\cap_{j \in J} S_j) \cup S\)。
したがって、いずれにせよ、\(s \in (\cap_{j \in J} S_j) \cup S\)。
