コンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）からメトリックスペース（計量付き空間）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）はコーシーシーケンス（列）をコーシーシーケンス（列）へマップすることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のコーシーシーケンス（列）の定義を知っている。
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）上のポイントたちの任意のシーケンス（列）に対して、当該シーケンス（列）はコーシーである、もしも、各\(\epsilon\)に対して、ある\(N\)で、\((N + 1)\)-番目ポイントと各後続ポイントの間のディスタンス（距離）が\(\epsilon\)より小さいものがある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）から任意のメトリックスペース（計量付き空間）の中への任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）は任意のコーシーシーケンス（列）をコーシーシーケンス（列）へマップするという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのコンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
\(s\): \(: \mathbb{N} \setminus \{0\} \to T_1\), \(\in \{\text{ 全てのコーシーシーケンス（列）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \circ s: \mathbb{N} \setminus \{0\} \to T_2 \in \{\text{ 全てのコーシーシーケンス（列）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(s\)のあるコンバージェンス（収束ポイント）\(p \in T_1\)および\(f (p) \in T_2\)を取る; ステップ2: \(f \circ s\)はコーシーシーケンス（列）であることを見る。
ステップ1:
\(s\)のあるコンバージェンス（収束ポイント）\(p \in T_1\)を取ろう、それは可能である、なぜなら、\(s\)はコーシーシーケンス（列）であり\(T_1\)はコンプリート（完備）である。
すると、\(f (p) \in T_2\)は存在する。
ステップ2:
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
\(f (p)\)の周りの\(\epsilon / 2\)-オープンボール（開球）\(B_{f (p), \epsilon / 2} \subseteq T_2\)を取ろう。
\(f\)はコンティニュアス（連続）であるから、\(p\)の周りの以下を満たすある\(\delta\)-オープンボール（開球）\(B_{p, \delta}\)、つまり、\(f (B_{p, \delta}) \subseteq B_{f (p), \epsilon / 2}\)、がある。
\(s\)は\(p\)へコンバージ（収束）するから、以下を満たすある\(N \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、つまり、\(N \lt j\)を満たす各\(j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して\(s (j) \in B_{p, \delta}\)、がある。
したがって、\(N \lt j\)を満たす各\(j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(f \circ s (j) \in f (B_{p, \delta}) \subseteq B_{f (p), \epsilon / 2}\)。
特に、\(f \circ s (N + 1) \in B_{f (p), \epsilon / 2}\)。
\(dist (f \circ s (j), f \circ s (N + 1)) \le dist (f \circ s (j), f (p)) + dist (f (p), f \circ s (N + 1)) \lt \epsilon / 2 + \epsilon / 2 = \epsilon\)。
したがって、任意のメトリックスペース（計量付き空間）上のポイントたちの任意のシーケンス（列）に対して、当該シーケンス（列）はコーシーである、もしも、各\(\epsilon\)に対して、ある\(N\)で、\((N + 1)\)-番目ポイントと各後続ポイントの間のディスタンス（距離）が\(\epsilon\)より小さいものがある場合、そしてその場合に限って、という命題によって、\(f \circ s\)はコーシーシーケンス（列）である。
3: 注
本ロジックは、\(T_1\)がコンプリート（完備）であるよう要求する。
もしも、恣意的なある\(N\)および\(B_{f \circ s (N + 1), \epsilon}\)を取ったら、以下を満たすある\(B_{s (N + 1), \delta}\)、つまり、\(f (B_{s (N + 1), \delta}) \subseteq B_{f \circ s (N + 1), \epsilon}\)、があるだろう、しかし、各\(N \lt j\)に対して\(s (j) \in B_{s (N + 1), \delta}\)であるという保証はないだろう、なぜなら、\(N\)はその目的のために選ばれていない、そして、\(f \circ s (j) \in B_{f \circ s (N + 1), \epsilon}\)は必ずしも結論されない; 確かに、以下を満たすある\(N'\)、つまり、各\(N' \lt j\)に対して\(s (j) \in B_{s (N' + 1), \delta}\)、を選ぶことはできる、しかし、\(f (B_{s (N' + 1), \delta}) \subseteq B_{f \circ s (N + 1), \epsilon}\)は保証されないだろう。
