メトリックスペース（計量付き空間）たち間リプシッツマップ（写像）はコーシーシーケンス（列）をコーシーシーケンス（列）へマップすることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）たち間のリプシッツマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のコーシーシーケンス（列）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）たち間任意のリプシッツマップ（写像）は任意のコーシーシーケンス（列）をコーシーシーケンス（列）へマップするという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのリプシッツマップ（写像）たち }\}\), with \(L\)
\(s\): \(: \mathbb{N} \setminus \{0\} \to T_1\), \(\in \{\text{ 全てのコーシーシーケンス（列）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \circ s \in \{\text{ 全てのコーシーシーケンス（列）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の\(\epsilon\)および以下を満たす任意の\(N\)、つまり、各\(N \lt j, l\)に対して、\(dist (s (j), s (l)) \lt \epsilon / L\)、を取る; ステップ2: \(dist (f \circ s (j), f \circ s (l)) \lt \epsilon\)であることを見る。
ステップ1:
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
\(s\)はコーシーであるから、以下を満たすある\(N \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、つまり、\(N \lt j, l\)を満たす各\(j, l \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(dist (s (j), s (l)) \lt \epsilon / L\)、がある。
ステップ2:
\(f\)はリプシッツであるから、\(dist (f \circ s (j), f \circ s (l)) \le L dist (s (j), s (l)) \lt L \epsilon / L = \epsilon\)。
したがって、\(f \circ s\)はコーシーである。
