\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\)ファンクション（関数）のエクステリアデリベーション（微分）はライプニッツルールを満たすことの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\)ファンクション（関数）のエクステリアデリベーション（微分）はライプニッツルールを満たすという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(d\): \(: \Omega_0 (TM) \to \Omega_1 (TM)\), \(= \text{ ファンクション（関数）のエクステリアデリベーション（微分） }\)
\(f_1\): \(\in \Omega_0 (TM)\)
\(f_2\): \(\in \Omega_0 (TM)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(d (f_1 f_2) = f_2 d f_1 + f_1 d f_2\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(m \in M\)に対して、任意のチャート\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)を取り、\(d (f_1 f_2)\)のチャート表現を取り、\(d (f_1 f_2) = f_2 d f_1 + f_1 d f_2\)であることを当該チャート表現たちにおいて見る。
ステップ1:
\(m \in M\)を任意のものとしよう。
\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)を\(m\)周りの任意のチャートとしよう。
当該チャートに関して、\(d (f_1 f_2) = \partial (f_1 f_2) / \partial x^j d x^j\)である、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\)ファンクション（関数）のエクステリアデリバティブ（微分係数）の定義に対する"注"によって。
\(= (f_2 \partial f_1 / \partial x^j + f_1 \partial f_2 / \partial x^j) d x^j\)、なぜなら、任意のタンジェント（接）ベクトルはデリベーション（微分）である。
\(= f_2 (\partial f_1 / \partial x^j d x^j) + f_1 (\partial f_2 / \partial x^j d x^j) = f_2 d f_1 + f_1 d f_2\)。
