\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\)ファンクション（関数）のエクステリアデリバティブ（微分係数）の定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のファンクション（関数）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上方の\(q\)-フォームの定義を知っている。
- 読者は、コンティニュアス（連続）マップ（写像）のセクション（断面）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\)ファンクション（関数）のエクステリアデリバティブ（微分係数）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\( \mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアン } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体） }\)
\( f\): \(: M \to \mathbb{R}\), \(\in \Omega_0 (TM)\)
\(*d f\): \(: M \to \Lambda_1 (T M)\), \(\in \Omega_1 (TM)\)
//
コンディションたち:
\(\forall v \in T_mM (d f (m) (v) = v f)\)
//
2: 注
\(d f\)は\(\pi: \Lambda_1 (T M) \to M\)のセクション（断面）であるので、\(d f (m) \in \Lambda_1 (T_mM)\)、そして、\(d f (m) (v)\)は意味をなす。しかし、通常は、\(d f (m) (v)\)は\(d f (v)\)と記される、なぜなら、\(v\)は\(m\)を決定するので、\(m\)は指定される必要がない。
\(m\)周りの各チャート\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)に対して、\(d f = \partial f / \partial x^j d x^j\)、ここで、\((d x^1, ... d x^d)\)は\((\partial / \partial x^1, ..., \partial / \partial x^d)\)のデュアルベーシス（基底）である、なぜなら、\(v = v^j \partial / \partial x^j\)と記して、\(d f (v) = v f = v^j \partial / \partial x^j (f) = v^j \partial f / \partial x^j\)、その一方で、\(\partial f / \partial x^j d x^j (v) = \partial f / \partial x^j d x^j (v^l \partial / \partial x^l) = \partial f / \partial x^j v^l \delta^j_l = \partial f / \partial x^j v^j\)。
\(d f\)は本当に\(\pi\)の\(C^\infty\)セクション（断面）であることを見よう。
各\(m \in M\)に対して、\(d f (m)\)は\(T_mM\)に作用し、それはマルチリニア（多重線形）である、なぜなら、\(d f (m) (r v + r' v') = (r v + r' v') f = r v f + r' v' f = r d f (m) (v) + r' d f (m) (v')\)、したがって、\(d f (m) \in \Lambda_1 (T_mM)\)。したがって、\(\pi (d f (m)) = m\)。
\(d f\)はコンティニュアス（連続）である、実のところ、\(C^\infty\)、なぜなら、各\(m \in M\)に対して、\(m\)周りのあるチャート\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)および\(d f (m)\)周りのあるチャート\((\pi^{-1} (U_m) \subseteq \Lambda_1 (T M), \widetilde{\phi_m})\)があり、\(d f\)のそれらチャートたちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）は\(: \phi_m (U_m) \to \widetilde{\phi_m} (\pi^{-1} (U_m)), \phi_m (m) \mapsto (\partial f / \partial x^1, ..., \partial f / \partial x^d, \phi_m (m))\)である、それは、\(C^\infty\)である、なぜなら、\(f\)は\(C^\infty\)である。
\((d x^1, ..., d x^d)\)は、\((\partial / \partial x^1, ..., \partial / \partial x^d)\)のデュアルベーシス（基底）であるとして既に定義されている、しかし、実のところ、\(x^j\)は\(U_m\)上方のファンクション（関数）であり、当該ファンクション（関数）のエクステリアデリバティブ（微分係数）としての\(d x^j\)は、当該デュアルベーシス（基底）の当該要素としての\(d x^j\)に等しい: \(d x^j\)を当該デュアルベーシス（基底）の当該要素とみなして、\(d x^j (v) = d x^j (v^l \partial / \partial x^l) = v^l d x^j (\partial / \partial x^l) = v^l \delta^j_l = v^j\)、他方で、\(d x^j\)を\(x^j\)のエクステリアデリバティブ（微分係数）とみなして、\(d x^j (v) = v (x^j) = v^l \partial / \partial x^l (x^j) = v^l \delta^j_l = v^j\)。
