\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\) \(q\)-フォームでファンクション（関数）に\(q\)個のファンクション（関数）たちのエクステリアデリバティブ（微分係数）たちのウェッジプロダクト（楔積）を掛けたものとして2つの形で表わされるものに対して、頭のファンクション（関数）たちをそのエクステリアデリバティブ（微分係数）たちで置換した表現たちは同一オブジェクトを代表することの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の任意の\(C^\infty\) \(q\)-フォームでファンクション（関数）に\(q\)個のファンクション（関数）たちのエクステリアデリバティブ（微分係数）たちのウェッジプロダクト（楔積）を掛けたものとして任意の2つの形で表わされるものに対して、頭の当該ファンクション（関数）たちをそのエクステリアデリバティブ（微分係数）たちで置換した（そして、マルチプリケーション（乗法）たちをウェッジプロダクト（楔積）たちで置換した）表現たちは同一オブジェクトを代表するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(t\): \(\in \Omega_q (TM)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(t = f_1 d f_2 \wedge ... \wedge d f_q = f'_1 d f'_2 \wedge ... \wedge d f'_q\)
\(\implies\)
\(d f_1 \wedge d f_2 \wedge ... \wedge d f_q = d f'_1 \wedge d f'_2 \wedge ... \wedge d f'_q\)
//
2: 注
"頭の当該ファンクション（関数）たちをそのエクステリアデリバティブ（微分係数）たちで置換した（そして、マルチプリケーション（乗法）たちをウェッジプロダクト（楔積）たちで置換した）表現たち"のように言われているところ、それは、単に\(t\)のエクステリアデリバティブ（微分係数）ではないのか？実のところ、そうである、しかし、'\(C^\infty\) \(q\)-フォームのエクステリアデリバティブ（微分係数）'はまだ定義されていない（私たちに関する限り）、そして、実のところ、本命題は、'\(C^\infty\) \(q\)-フォームのエクステリアデリバティブ（微分係数）'を定義するために使われる。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(m \in M\)に対して、任意のチャート\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)を取り、あるチャート依存オペレーション\(p: \Omega_r (T U_m) \to \Omega_{r + 1} (T U_m)\)を定義し、その2個のプロパティたちを見る; ステップ2: \(p (t) = d f_1 \wedge d f_2 \wedge ... \wedge d f_q\)および\(p (t) = d f'_1 \wedge d f'_2 \wedge ... \wedge d f'_q\)であることを見る。
ステップ1:
\(m \in M\)を任意のものとしよう。
\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)を\(m\)周りの任意のチャートとしよう。
あるチャート依存オペレーション\(p: \Omega_r (T U_m) \to \Omega_{r + 1} (T U_m)\)を以下のように定義しよう: 以下を満たす任意の\(u \in \Omega_r (TM)\)、つまり、\(0 \lt r\)、に対しては、\(u\)を\(\Lambda_r (T U_m)\)に対するスタンダードベーシス（基底）で\(u = u_{j_1, ...j_r} d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_r}\)と表わし、\(p (u) = d u_{j_1, ...j_r} \wedge d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_r}\)とする; 任意の\(u \in \Omega_0 (TM)\)に対しては、\(p (u) = d u\)とする。
当該定義には何の曖昧さもない、なぜなら、それは当該チャートに依存するかもしれないが、私たちは当該チャートを選択済みである: 当該スタンダードベーシス（基底）はユニークに決定され、\(u\)の表現はユニークであり、\(p (u)\)はユニークに指定されている。
そして、それは、本当に\(\Omega_{r + 1} (T U_m)\)の中へのものである。
したがって、当該定義はウェルデファインド（妥当に定義された）である。
\(p\)の2個のプロパティたちを見よう: 1) \(p (u_1 \wedge u_2) = p (u_1) \wedge u_2 + (-1)^r u_1 \wedge p (u_2)\)、ここで、\(u_1 \in \Omega_r (T U_m)\)および\(u_2 \in \Omega_s (T U_m)\); 2) \(p (d u) = 0\)、ここで、\(u \in \Omega_0 (T U_m)\)。
1)を見よう。
\(0 \lt r\)としよう。
\(p (u_1 \wedge u_2) = p (u_{1, j_1, ..., j_r} d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_r} \wedge u_{2, l_1, ..., l_s} d x^{l_1} \wedge ... \wedge d x^{l_s}) = p (u_{1, j_1, ..., j_r} u_{2, l_1, ..., l_s} d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_r} \wedge d x^{l_1} \wedge ... \wedge d x^{l_s})\)。
ここでの注意として、\(d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_r} \wedge d x^{l_1} \wedge ... \wedge d x^{l_s}\)たちのいくつかは当該スタンダードベーシス（基底）の要素ではないかもしれない（いくつかは\(0\)かもしれない; いくつかはあるベーシス（基底）要素の負たちかもしれない）し、ある同一ベーシス（基底）要素の重複たちがあるかもしれないが、\(= d (u_{1, j_1, ..., j_r} u_{2, l_1, ..., l_s}) \wedge d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_r} \wedge d x^{l_1} \wedge ... \wedge d x^{l_s})\)が成立する、なぜなら、\(0\)項目たちはいずれにせよ消滅し、各同一ベーシス（基底）要素の負たちや重複たちはまず足し合わされて次に\(p\)が作用する、しかし、\(d\)はリニア（線形）であるから、それは、まず各項に\(p\)が作用して次に足し合わされたものと同一である。
\(= (u_{2, l_1, ..., l_s} d u_{1, j_1, ..., j_r} + u_{1, j_1, ..., j_r} d u_{2, l_1, ..., l_s}) \wedge d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_r} \wedge d x^{l_1} \wedge ... \wedge d x^{l_s}\)、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\)ファンクション（関数）のエクステリアデリベーション（微分）はライプニッツルールを満たすという命題によって。
\(= (d u_{1, j_1, ..., j_r} \wedge d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_r}) \wedge (u_{2, l_1, ..., l_s} d x^{l_1} \wedge ... \wedge d x^{l_s}) + (-1)^r (u_{1, j_1, ..., j_r} d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_r}) \wedge (d u_{2, l_1, ..., l_s} \wedge d x^{l_1} \wedge ... \wedge d x^{l_s})\)、ここで、\((-1)^r\)が現われる理由は、\(d u_{2, l_1, ..., l_s}\)をそこに移動することは、\(d u_{2, l_1, ..., l_s}\)と\(d x^{j_1}\)をスイッチし、次に、\(d u_{2, l_1, ..., l_s}\)と\(d x^{j_2}\)をスイッチし、...、そして、次に、\(d u_{2, l_1, ..., l_s}\)と\(d x^{j_r}\)をスイッチする; 他方で、\(u_{2, l_1, ..., l_s}\)は単に移動することができる。
\(= p (u_1) \wedge u_2 + (-1)^r u_1 \wedge p (u_2)\)。
\(0 = r\)としよう。
\(p (u_1 \wedge u_2) = p (u_1 u_{2, l_1, ..., l_s} d x^{l_1} \wedge ... \wedge d x^{l_s}) = d (u_1 u_{2, l_1, ..., l_s}) \wedge d x^{l_1} \wedge ... \wedge d x^{l_s}\)。
\(= (u_{2, l_1, ..., l_s} d u_1 + u_1 d u_{2, l_1, ..., l_s}) \wedge d x^{l_1} \wedge ... \wedge d x^{l_s}\)、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\)ファンクション（関数）のエクステリアデリベーション（微分）はライプニッツルールを満たすという命題によって。
\(= d u_1 \wedge (u_{2, l_1, ..., l_s} d x^{l_1} \wedge ... \wedge d x^{l_s}) + u_1 \wedge (d u_{2, l_1, ..., l_s} \wedge d x^{l_1} \wedge ... \wedge d x^{l_s})\)。
\(= p (u_1) \wedge u_2 + (-1)^r u_1 \wedge p (u_2)\)。
2)を見よう。
\(p (d u) = p (\partial u / \partial x^j d x^j) = d (\partial u / \partial x^j) \wedge d x^j = \partial (\partial u / \partial x^j) / \partial x^l d x^l \wedge d x^j\)、しかし、各\(d x^l \wedge d x^j\)に対して、対応する\(d x^j \wedge d x^l = - d x^l \wedge d x^j\)があり、\(\partial (\partial u / \partial x^j) / \partial x^l = \partial (\partial u / \partial x^l) / \partial x^j\)、したがって、当該ペアはお互いを消し合う、そして、\(p (d u) = 0\)。
ステップ2:
\(p (t) = p (f_1 d f_2 \wedge ... \wedge d f_q) = p (f_1 \wedge (d f_2 \wedge ... \wedge d f_q)) = p (f_1) \wedge (d f_2 \wedge ... \wedge d f_q) + f_1 \wedge p (d f_2 \wedge ... \wedge d f_q)\)。
しかし、\(p (d f_2 \wedge ... \wedge d f_q) = 0\)、なぜなら、\(p (d f_j) = 0\)であるところ、\(p (d f_{q - 1} \wedge d f_q) = p (d f_{q - 1}) \wedge d f_q - d f_{q - 1} \wedge p (d f_q) = 0 \wedge d f_q - d f_{q - 1} \wedge 0 = 0\)、\(p (d f_{q - 2} \wedge d f_{q - 1} \wedge d f_q) = p ((d f_{q - 2} \wedge d f_{q - 1}) \wedge d f_q) = p (d f_{q - 2} \wedge d f_{q - 1}) \wedge d f_q + (d f_{q - 2} \wedge d f_{q - 1}) \wedge p (d f_q) = 0 \wedge d f_q + (d f_{q - 2} \wedge d f_{q - 1}) \wedge 0 = 0\)、等々と続く。
したがって、\(p (t) = p (f_1) \wedge (d f_2 \wedge ... \wedge d f_q) + 0 = d f_1 \wedge d f_2 \wedge ... \wedge d f_q\)。
同様に、\(p (t) = d f'_1 \wedge d f'_2 \wedge ... \wedge d f'_q\)。
したがって、\(d f_1 \wedge d f_2 \wedge ... \wedge d f_q = p (t) = d f'_1 \wedge d f'_2 \wedge ... \wedge d f'_q\)。
任意のポイント\(m \in M\)周りで\(d f_1 \wedge d f_2 \wedge ... \wedge d f_q = d f'_1 \wedge d f'_2 \wedge ... \wedge d f'_q\)であるから、それは\(M\)上方全体でそうである。
