\(1\)より大きいリアルナンバー（実数）\(p\)、そのエクスポーネントコンジュゲート（指数共役）\(q\)、非負リアルナンバー（実数）たち\(r_1\)および\(r_2\)に対して、\(r_1 r_2\)は\({r_1}^p / p\)プラス\({r_2}^q / q\)に等しいかそれより小さいことの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、エクスポーネント（指数）のエクスポーネントコンジュゲート（指数共役）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(1\)より大きい任意のリアルナンバー（実数）\(p\)、そのエクスポーネントコンジュゲート（指数共役）\(q\)、任意の非負リアルナンバー（実数）たち\(r_1\)および\(r_2\)に対して、\(r_1 r_2\)は\({r_1}^p / p\)プラス\({r_2}^q / q\)に等しいかそれより小さいという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(p\): \(\in \mathbb{R}\)で、\(1 \lt p\)を満たすもの
\(q\): \(= p \text{ のエクスポーネントコンジュゲート（指数共役） }\), \(\in \mathbb{R}\)
\(r_1\): \(\in \mathbb{R}\)で、\(0 \le r_1\)を満たすもの
\(r_2\): \(\in \mathbb{R}\)で、\(0 \le r_2\)を満たすもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(r_1 r_2 \le {r_1}^p / p + {r_2}^q / q\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(r_1 = 0\)または\(r_2 = 0\)ケースに対処する; ステップ2: そうでなければ、\(0 \lt t\)に対して\(0 \le - t^{1 / p} + 1 / p t + 1 - 1 / p\)であることが本命題を証明することを見る; ステップ3: \(0 \lt t\)に対して、\(0 \le - t^{1 / p} + 1 / p t + 1 - 1 / p\)であることを見る。
ステップ1:
\(r_1 = 0\)または\(r_2 = 0\)であると仮定しよう。
\(r_1 r_2 = 0\)。
\(0 \le {r_1}^p / p + {r_2}^q / q\)。
したがって、\(r_1 r_2 \le {r_1}^p / p + {r_2}^q / q\)。
ステップ2:
そうでないと仮定しよう。
\(0 \lt t\)に対して\(0 \le - t^{1 / p} + 1 / p t + 1 - 1 / p\)であることが本命題を証明することを見よう。
\(t = {r_1}^p {r_2}^{- q}\)と取ろう、それは、\(0 \lt t\)を満たす。
\(0 \le - ({r_1}^p {r_2}^{- q})^{1 / p} + 1 / p ({r_1}^p {r_2}^{- q}) + 1 - 1 / p\)。
\(({r_1}^p {r_2}^{- q})^{1 / p} \le 1 / p ({r_1}^p {r_2}^{- q}) + 1 / q\)、しかし、左辺は、\(r_1 {r_2}^{- q / p}\)である。
\(r_1 {r_2}^{- q / p} {r_2}^q \le (1 / p ({r_1}^p {r_2}^{- q}) + 1 / q) {r_2}^{q}\)、しかし、左辺は、\(r_1 {r_2}^{- q / p + q} = r_1 {r_2}^{(1 - 1 / p) q} = r_1 {r_2}^{q / q} = r_1 r_2\)、そして、右辺は、\(1 / p {r_1}^p + 1 / q {r_2}^q\)。
したがって、\(r_1 r_2 \le {r_1}^p / p + {r_2}^q / q\)。
ステップ3:
\(0 \lt t\)に対して\(0 \le - t^{1 / p} + 1 / p t + 1 - 1 / p\)であることを見よう。
\(f: (0, \infty) \to \mathbb{R}, t \mapsto - t^{1 / p} + 1 / p t + 1 - 1 / p\)としよう。
\(d f / d t = - 1 / p t^{1 / p - 1} + 1 / p\)。
\(d^2 f / d t^2 = - 1 / p (1 / p - 1) t^{1 / p - 2}\)。
\(0 \lt d^2 f / d t^2\)。
\(d f / d t = 0\)は、\(t = 1\)である時のみ。
したがって、\(f\)は\(t = 1\)において最小値を取る。
しかし、\(f (1) = 0\)。
したがって、\(0 \le f\)。
