メジャースペース（測度空間）上方の\(\mathcal{L}^p\)の定義
話題
About: メジャースペース（測度空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、メジャースペース（測度空間）のメジャラブルサブセット（測度空間部分集合）上方のルベーグインテグラブルファンクション（積分可能関数）の定義を知っている。
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のメジャースペース（測度空間）に対して、任意のローカルにネグリジブルサブセット（無視可能部分集合）たちの任意のシーケンス（列）のユニオン（和集合）はローカルにネグリジブル（無視可能）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、メジャースペース（測度空間）上方の\(\mathcal{L}^p\)の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( (M, A, \mu)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャースペース（測度空間）たち }\}\)
\( \mathbb{C}\): \(= \text{ 当該コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)で、ボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの
\( \mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)で、ボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの
\( F\): \(\in \{\mathbb{C}, \mathbb{R}\}\)
\( p\): \(\in \mathbb{R}\)で、\(1 \le p \lt \infty\)を満たすもの
\(*\mathcal{L}^p (M, A, \mu, F)\): \(= \{f: M \to F \vert \vert f \in \{\text{ 全てのメジャラブルファンクション（測定可能関数）たち }\} \land \vert f \vert^p \in \{\text{ 全てのルベーグインテグラブルファンクション（積分可能関数）たち }\}\}\)で、下に指定されるセミノルムを持つもの、\(\in \{\text{ 全てのセミノルム付き } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち } \}\)
\(*\mathcal{L}^\infty (M, A, \mu, F)\): \(= \{f: M \to F \vert f \in \{\text{ 全てのメジャラブルファンクション（測定可能関数）たち }\} \land \exists l \in \mathbb{R} (\forall m \in M (\vert f (m) \vert \lt l))\}\)で、下に指定されるセミノルムを持つもの、\(\in \{\text{ 全てのセミノルム付き } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち } \}\)
//
コンディションたち:
\(\mathcal{L}^p\)に対して、\(\Vert f \Vert = (\int \vert f \vert^p d \mu)^{1 / p}\)
\(\land\)
\(\mathcal{L}^\infty\)に対して、\(\Vert f \Vert = inf \{r \in \mathbb{R} \vert 0 \le r \land \{m \in M \vert r \lt \vert f (m) \vert\} \in \{M \text{ の全てのローカルにネグリジブルサブセット（無視可能部分集合）たち }\}\}\)
//
2: 注
これは、\(L^p (M, A, \mu, F)\)とは異なる。
\(\mathcal{L}^p (M, A, \mu, F)\)は本当に\(F\)ベクトルたちスペース（空間）であることを見よう。
\(c_1 f_1 + c_2 f_2: M \to F\)はメジャラブル（測定可能）である、よく知られているとおり。
\(\vert c_1 f_1 (m) + c_2 f_2 (m) \vert^p \le (\vert c_1 f_1 (m) \vert + \vert c_2 f_2 (m) \vert)^p\)、しかし、\(\vert c_1 f_1 (m) \vert \le \vert c_2 f_2 (m) \vert\)である時、\((\vert c_1 f_1 (m) \vert + \vert c_2 f_2 (m) \vert)^p \le (2 \vert c_2 f_2 (m) \vert)^p \le (2 \vert c_1 f_1 (m) \vert)^p + (2 \vert c_2 f_2 (m) \vert)^p\)、そして、\(\vert c_2 f_2 (m) \vert \lt \vert c_1 f_1 (m) \vert\)である時、\((\vert c_1 f_1 (m) \vert + \vert c_2 f_2 (m) \vert)^p \le (2 \vert c_1 f_1 (m) \vert)^p \le (2 \vert c_1 f_1 (m) \vert)^p + (2 \vert c_2 f_2 (m) \vert)^p\)、したがって、いずれにせよ、\((\vert c_1 f_1 (m) \vert + \vert c_2 f_2 (m) \vert)^p \le (2 \vert c_1 f_1 (m) \vert)^p + (2 \vert c_2 f_2 (m) \vert)^p = 2^p \vert c_1 \vert^p \vert f_1 (m) \vert^p + 2^p \vert c_2 \vert^p \vert f_2 (m) \vert^p\)、したがって、\(\vert c_1 f_1 (m) + c_2 f_2 (m) \vert^p\)はルベーグインテグラブル（積分可能）である。
したがって、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義に対する要求たちの1)および6)は満たされている。
他の要求たちが満たされていることを見よう。
2) \(\forall f_1, f_2 \in \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F) (f_1 + f_2 = f_2 + f_1)\)（アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））: \(f_1 + f_2 = f_2 + f_1\)。
3) \(\forall f_1, f_2, f_3 \in \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F) ((f_1 + f_2) + f_3 = f_1 + (f_2 + f_3))\)（アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））: \((f_1 + f_2) + f_3 = f_1 + (f_2 + f_3)\)。
4) \(\exists 0 \in \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F) (\forall f \in \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F) (f + 0 = f))\)（0要素の存在）: \(0 \in \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F)\)でよい。
5) \(\forall f \in \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F) (\exists f' \in \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F) (f' + f = 0))\)（インバース（逆）要素の存在）: \(f' := - f\)でよい。
7) \(\forall f \in \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F), \forall r_1, r_2 \in F ((r_1 + r_2) . f = r_1 . f + r_2 . f)\)（スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: \((r_1 + r_2) . f = r_1 . f + r_2 . f\)。
8) \(\forall f_1, f_2 \in \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F), \forall r \in F (r . (f_1 + f_2) = r . f_1 + r . f_2)\)（要素たちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーションディストリビュータビリティ（分配性））: \(r . (f_1 + f_2) = r . f_1 + r . f_2\)。
9) \(\forall f \in \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F), \forall r_1, r_2 \in F ((r_1 r_2) . f = r_1 . (r_2 . f))\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: \((r_1 r_2) . f = r_1 . (r_2 . f)\)。
10) \(\forall f \in \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F) (1 . f = f)\)（1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性））: \(1 . f = f\)。
\(\mathcal{L}^\infty (M, A, \mu, F)\)は本当に\(F\)ベクトルたちスペース（空間）であることを見よう。
\(c_1 f_1 + c_2 f_2: M \to F\)はメジャラブル（測定可能）である、よく知られてとおり。
\(\vert c_1 f_1 (m) + c_2 f_2 (m) \vert \le \vert c_1 f_1 (m) \vert + \vert c_2 f_2 (m) \vert = \vert c_1 \vert \vert f_1 (m) \vert + \vert c_2 \vert \vert f_2 (m) \vert \lt \vert c_1 \vert l_1 + \vert c_2 \vert l_2\)。
したがって、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義に対する要求たちの1)および6)は満たされている。
他の要求たちが満たされていることを見よう。
2) \(\forall f_1, f_2 \in \mathcal{L}^\infty (M, A, \mu, F) (f_1 + f_2 = f_2 + f_1)\)（アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））: \(f_1 + f_2 = f_2 + f_1\)。
3) \(\forall f_1, f_2, f_3 \in \mathcal{L}^\infty (M, A, \mu, F) ((f_1 + f_2) + f_3 = f_1 + (f_2 + f_3))\)（アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））: \((f_1 + f_2) + f_3 = f_1 + (f_2 + f_3)\)。
4) \(\exists 0 \in \mathcal{L}^\infty (M, A, \mu, F) (\forall f \in \mathcal{L}^\infty (M, A, \mu, F) (f + 0 = f))\)（0要素の存在）: \(0 \in \mathcal{L}^\infty (M, A, \mu, F)\)でよい。
5) \(\forall f \in \mathcal{L}^\infty (M, A, \mu, F) (\exists f' \in \mathcal{L}^\infty (M, A, \mu, F) (f' + f = 0))\)（インバース（逆）要素の存在）: \(f' := - f\)でよい。
7) \(\forall f \in \mathcal{L}^\infty (M, A, \mu, F), \forall r_1, r_2 \in F ((r_1 + r_2) . f = r_1 . f + r_2 . f)\)（スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: \((r_1 + r_2) . f = r_1 . f + r_2 . f\)。
8) \(\forall f_1, f_2 \in \mathcal{L}^\infty (M, A, \mu, F), \forall r \in F (r . (f_1 + f_2) = r . f_1 + r . f_2)\)（要素たちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーションディストリビュータビリティ（分配性））: \(r . (f_1 + f_2) = r . f_1 + r . f_2\)。
9) \(\forall f \in \mathcal{L}^\infty (M, A, \mu, F), \forall r_1, r_2 \in F ((r_1 r_2) . f = r_1 . (r_2 . f))\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: \((r_1 r_2) . f = r_1 . (r_2 . f)\)。
10) \(\forall f \in \mathcal{L}^\infty (M, A, \mu, F) (1 . f = f)\)（1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性））: \(1 . f = f\)。
\(\Vert f \Vert = (\int \vert f \vert^p d \mu)^{1 / p}\)は本当にセミノルムであることを見よう。
\(f_1, f_2 \in \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F)\)および\(r \in F\)を任意のものたちとしよう。
1) (\(0 \le \Vert f_1 \Vert\)) \(\land\) (\((f_1 = 0) \implies (0 = \Vert f_1 \Vert)\)): \(0 \le (\int \vert f_1 \vert^p d \mu)^{1 / p} = \Vert f_1 \Vert\); もしも、\(f_1 = 0\)である場合、\(\Vert f_1 \Vert = (\int \vert f_1 \vert^p d \mu)^{1 / p} = (\int \vert 0 \vert^p d \mu)^{1 / p} = 0\)。
2) \(\Vert r f_1 \Vert = \vert r \vert \Vert f_1 \Vert\): \(\Vert r f_1 \Vert = (\int \vert r f_1 \vert^p d \mu)^{1 / p} = (\int (\vert r \vert \vert f_1 \vert)^p d \mu)^{1 / p} = (\int \vert r \vert^p \vert f_1 \vert^p d \mu)^{1 / p} = (\vert r \vert^p \int \vert f_1 \vert^p d \mu)^{1 / p} = \vert r \vert (\int \vert f_1 \vert^p d \mu)^{1 / p} = \vert r \vert \Vert f_1 \Vert\)。
3) \(\Vert f_1 + f_2 \Vert \le \Vert f_1 \Vert + \Vert f_2 \Vert\)を見よう。
\(q\)を\(p\)のエクスポーネントコンジュゲート（指数共役）としよう。
\((\vert f_1 + f_2 \vert^{p - 1})^q = \vert f_1 + f_2 \vert^{(p - 1) q}\)、しかし、\((p - 1) q = (1 - 1 / p) p q = 1 / q p q = p\)であるから、\(= \vert f_1 + f_2 \vert^p\)、そして、\(\int \vert f_1 + f_2 \vert^p d \mu \lt \infty\)であるから、\(\int (\vert f_1 + f_2 \vert^{p - 1})^q d \mu \lt \infty\)、\(\vert f_1 + f_2 \vert^{p - 1} \in \mathcal{L}^q (M, A, \mu, F)\)。
\(\vert f_1 + f_2 \vert^p = \vert f_1 + f_2 \vert \vert f_1 + f_2 \vert^{p - 1} \le (\vert f_1 \vert + \vert f_2 \vert) \vert f_1 + f_2 \vert^{p - 1}\)。
したがって、\(\int \vert f_1 + f_2 \vert^p d \mu \le \int (\vert f_1 \vert + \vert f_2 \vert) \vert f_1 + f_2 \vert^{p - 1} d \mu = \int \vert f_1 \vert \vert f_1 + f_2 \vert^{p - 1} d \mu + \int \vert f_2 \vert \vert f_1 + f_2 \vert^{p - 1} d \mu \le \Vert f_1 \Vert_p \Vert \vert f_1 + f_2 \vert^{p - 1} \Vert_q + \Vert f_2 \Vert_p \Vert \vert f_1 + f_2 \vert^{p - 1} \Vert_q\)、\(1\)以上の任意のリアルナンバー（実数）または\(\infty\)である\(p\)、そのエクスポーネントコンジュゲート（指数共役）\(q\)、任意のメジャースペース（測度空間）、当該メジャースペース（測度空間）上方の\(\mathcal{L}^p\)の任意の要素、当該メジャースペース（測度空間）上方の\(\mathcal{L}^q\)の任意の要素に対して、当該\(2\)要素たちの絶対値たち積のルベーグインテグラル（積分）は、当該要素たちのセミノルムたちの積以下である（ヘルダーの不等式）という命題によって。
\(= (\Vert f_1 \Vert_p + \Vert f_2 \Vert_p) \Vert \vert f_1 + f_2 \vert^{p - 1} \Vert_q = (\Vert f_1 \Vert_p + \Vert f_2 \Vert_p) (\int (\vert f_1 + f_2 \vert^{p - 1})^q d \mu)^{1 / q} = (\Vert f_1 \Vert_p + \Vert f_2 \Vert_p) (\int \vert f_1 + f_2 \vert^{(p - 1) q} d \mu)^{1 / q}\)、しかし、\((p - 1) q = (1 - 1 / p) p q = 1 / q p q = p\)であるので、\(= (\Vert f_1 \Vert_p + \Vert f_2 \Vert_p) (\int \vert f_1 + f_2 \vert^p d \mu)^{1 / q}\)。
したがって、\(\int \vert f_1 + f_2 \vert^p d \mu \le (\Vert f_1 \Vert_p + \Vert f_2 \Vert_p) (\int \vert f_1 + f_2 \vert^p d \mu)^{1 / q}\)、したがって、\((\int \vert f_1 + f_2 \vert^p d \mu)^{1 - 1 / q} \le \Vert f_1 \Vert_p + \Vert f_2 \Vert_p\)、しかし、\(1 - 1 / q = 1 / p\)であるから、左辺は、\((\int \vert f_1 + f_2 \vert^p d \mu)^{1 / p} = \Vert f_1 + f_2 \Vert_p\)、したがって、\(\Vert f_1 + f_2 \Vert_p \le \Vert f_1 \Vert_p + \Vert f_2 \Vert_p\)。
したがって、\(\Vert f \Vert = (\int \vert f \vert^p d \mu)^{1 / p}\)はセミノルムである。
\(\Vert f \Vert = inf \{r \in \mathbb{R} \vert 0 \le r \land \{m \in M \vert r \lt \vert f (m) \vert\} \in \{\text{ the locally negligible subsets of } M\}\}\)は本当にセミノルムであることを見よう。
それは妥当である、なぜなら、\(\{r \in \mathbb{R} \vert 0 \le r \land \{m \in M \vert r \lt \vert f (m) \vert\} \in \{\text{ the locally negligible subsets of } M\}\}\)は空でない、なぜなら、上限\(l\)はその中にある。
\(\mathcal{L}^\infty (M, A, \mu, F)\)に対して、\(\Vert f \Vert\)はインフィマム（下限）であると定義されているところ、それは、実のところ、ミニマム（最小値）であることを見よう、それが意味するのは、\(\{m \in M \vert \Vert f \Vert \lt \vert f (m) \vert\} \in \{M \text{ の全てのローカルにネグリジブルサブセット（無視可能部分集合）たち }\}\)。
\(s: \mathbb{N} \to \mathbb{R}\)を以下を満たす任意のシーケンス（列）、つまり、\(s (j) \in \{r \in \mathbb{R} \vert 0 \le r \land \{m \in M \vert r \lt \vert f (m) \vert\} \in \{M \text{ の全てのローカルにネグリジブルサブセット（無視可能部分集合）たち }\}\}\)および\(s (j) - \Vert f \Vert \lt 1 / (j + 1)\)、としよう、それは可能である、なぜなら、\(\Vert f \Vert\)はインフィマム（下限）である。
\(\{m \in M \vert \Vert f \Vert \lt \vert f (m) \vert\} = \cup_{j \in \mathbb{N}} \{m \in M \vert s (j) \lt \vert f (m) \vert\}\)、なぜなら、各\(m \in \{m \in M \vert \Vert f \Vert \lt \vert f (m) \vert\}\)に対して、\(\Vert f \Vert \lt \vert f (m) \vert\)、それが意味するのは、\(\vert f (m) \vert = \Vert f \Vert + \delta\)、以下を満たすある\(\delta\)、つまり、\(0 \lt \delta\)、に対して、そして、以下を満たすある\(j \in \mathbb{N}\)、つまり、\(s (j) - \Vert f \Vert \lt 1 / (j + 1) \lt \delta = \vert f (m) \vert - \Vert f \Vert\)、がある、それが意味するのは、\(s (j) \lt \vert f (m) \vert\)、したがって、\(m \in \{m \in M \vert s (j) \lt \vert f (m) \vert\}\); 他方で、各\(m \in \cup_{j \in \mathbb{N}} \{m \in M \vert s (j) \lt \vert f (m) \vert\}\)に対して、\(m \in \{m \in M \vert s (j) \lt \vert f (m) \vert\}\)、ある\(j \in \mathbb{N}\)に対して、そして、\(\Vert f \Vert \le s (j) \lt \vert f (m)\)、したがって、\(\Vert f \Vert \lt \vert f (m)\)、したがって、\(m \in \{m \in M \vert \Vert f \Vert \lt \vert f (m) \vert\}\)。
したがって、\(\{m \in M \vert \Vert f \Vert \lt \vert f (m) \vert\}\)はローカルにネグリジブル（無視可能）である、任意のメジャースペース（測度空間）に対して、任意のローカルにネグリジブルサブセット（無視可能部分集合）たちの任意のシーケンス（列）のユニオン（和集合）はローカルにネグリジブル（無視可能）であるという命題によって。
\(f_1, f_2 \in \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F)\)および\(s \in F\)を任意のものたちとしよう。
1) (\(0 \le \Vert f_1 \Vert\)) \(\land\) (\((f_1 = 0) \implies (0 = \Vert f_1 \Vert)\)): 当該インフィマム（下限）は\(0\)以上である、なぜなら、\(0 \le r\); もしも、\(f_1 = 0\)である場合、\(\{m \in M \vert r \lt \vert f (m) \vert\} = \{m \in M \vert r \lt \vert 0 \vert\}\)は任意の非負\(r\)に対して空である、したがって、当該インフィマム（下限）は\(0\)である。
2) \(\Vert s f_1 \Vert = \vert s \vert \Vert f_1 \Vert\): \(s = 0\)である時、\(\Vert s f_1 \Vert = \Vert 0 \Vert = 0 = \vert s \vert \Vert f_1 \Vert\); そうでなければ、\(\Vert s f_1 \Vert = inf \{r \in \mathbb{R} \vert 0 \le r \land \{m \in M \vert r \lt \vert s f (m) \vert\} \in \{M \text{ の全てのローカルにネグリジブルサブセット（無視可能部分集合）たち }\}\} = inf \{r \in \mathbb{R} \vert 0 \le r / \vert s \vert \land \{m \in M \vert r / \vert s \vert \lt \vert f (m) \vert\} \in \{M \text{ の全てのローカルにネグリジブルサブセット（無視可能部分集合）たち }\}\}\)、しかし、\(\Vert f_1 \Vert = inf \{r / \vert s \vert \in \mathbb{R} \vert 0 \le r / \vert s \vert \land \{m \in M \vert r / \vert s \vert \lt \vert f (m) \vert\} \in \{M \text{ の全てのローカルにネグリジブルサブセット（無視可能部分集合）たち }\}\}\)であるから、\(\Vert s f_1 \Vert = \vert s \vert \Vert f_1 \Vert\)。
3) \(\Vert f_1 + f_2 \Vert \le \Vert f_1 \Vert + \Vert f_2 \Vert\)であることを見よう。
\(S_j := \{m \in M \vert \Vert f_j \Vert \lt \vert f_j (m) \vert\}\)としよう、それは、ローカルにネグリジブル（無視可能）である。
すると、各\(m \in M \setminus S_j\)に対して、\(\vert f_j (m) \vert \le \Vert f_j \Vert\)、したがって、各\(m \in (M \setminus S_1) \cap (M \setminus S_2)\)に対して、\(\vert f_j (m) \vert \le \Vert f_j \Vert\)、しかし、\((M \setminus S_1) \cap (M \setminus S_2) = M \setminus (S_1 \cup S_2)\)、任意のセット（集合）に対して、任意のサブセット（部分集合）マイナス任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）は、第1サブセット（部分集合）マイナス第2のかたまりのサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題によって。
したがって、各\(m \in M \setminus (S_1 \cup S_2)\)に対して、\(\vert f_1 (m) + f_2 (m) \vert \le \vert f_1 (m) \vert + \vert f_2 (m) \vert \le \Vert f_1 \Vert + \Vert f_2 \Vert\)。
したがって、\(\{m \in M \vert \Vert f_1 \Vert + \Vert f_2 \Vert \lt \vert f_1 (m) + f_2 (m) \vert\} \subseteq S_1 \cap S_2\)、しかし、\(S_1 \cup S_2\)はローカルにネグリジブル（無視可能）である、任意のメジャースペース（測度空間）に対して、任意のローカルにネグリジブルサブセット（無視可能部分集合）たちの任意のシーケンス（列）のユニオン（和集合）はローカルにネグリジブル（無視可能）であるという命題によって、したがって、\(\Vert f_1 + f_2 \Vert \le \Vert f_1 \Vert + \Vert f_2 \Vert\)。
