グループ（群）に対して、シンメトリック（対称）サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）はシンメトリック（対称）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）のシンメトリック（対称）サブセット（部分集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）に対して、任意のシンメトリック（対称）サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）はシンメトリック（対称）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{S_j \in \{G \text{ の全てのシンメトリック（対称）サブセット（部分集合）たち }\} \vert j \in J\}\):
\(S\): \(= \cap_{j \in J} S_j\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S \in \{G \text{ の全てのシンメトリック（対称）サブセット（部分集合）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S\)の各要素は\(S^{-1}\)に属することを見る; ステップ2: \(S^{-1}\)の各要素は\(S\)に属することを見る。
ステップ1:
\(s \in S\)を任意のものとしよう。
\(s \in S_j\)、各\(j \in J\)に対して。
\(s^{-1} \in {S_j}^{-1} = S_j\)。
したがって、\(s^{-1} \in \cap_{j \in J} S_j = S\)。
したがって、\(s = {s^{-1}}^{-1} \in S^{-1}\)。
ステップ2:
\(s^{-1} \in S^{-1}\)を任意のものとしよう。
\(s \in S\)、したがって、\(s \in S_j\)、各\(j \in J\)に対して。
\(s^{-1} \in {S_j}^{-1} = S_j\)。
したがって、\(s^{-1} \in \cap_{j \in J} S_j = S\)。
