グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、オープンサブセット（開部分集合）にサブセット（部分集合）を左または右から掛けたものはオープンサブセット（開部分集合）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、任意のオープンサブセット（開部分集合）に任意のサブセット（部分集合）を左または右から掛けたものはオープンサブセット（開部分集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つものたち }\}\)
\(U\): \(\in \{G \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)
\(S\): \(\in \{G \text{ の全てのサブセット（部分集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S U \in \{G \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)
\(\land\)
\(U S \in \{G \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S U = \cup_{s \in S} s U\)であることを見る; ステップ2: \(f: G \to G, g \mapsto s g\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見、\(s U = f (U)\)であることを見る; ステップ3: \(S U \subseteq G\)はオープン（開）であることを見る; ステップ4: \(U S = \cup_{s \in S} U s\)であることを見る; ステップ5: \(f: G \to G, g \mapsto g s\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見、\(U s = f (U)\)であることを見る; ステップ6: \(U S \subseteq G\)はオープン（開）であることを見る。
ステップ1:
\(S U = \cup_{s \in S} s U\)であることを見よう。
各\(s u \in S U\)に対して、\(s u \in s U \subseteq \cup_{s \in S} s U\)。
各\(s u \in \cup_{s \in S} s U\)に対して、\(s u \in S U\)。
ステップ2:
各\(s \in S\)に対して、\(f: G \to G, g \mapsto s g\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、インバージョン（逆）マップ（写像）、要素による左または右からのマルチプリケーション（乗法）マップ（写像）、要素によるコンジュゲーション（共役）マップ（写像）たちはホメオモーフィズム（位相同形写像）たちであるという命題によって。
\(s U = f (U)\)、なぜなら、各\(s u \in s U\)に対して、\(s u = f (u) \in f (U)\); 各\(s u \in f (U)\)に対して、\(s u \in s U\)。
したがって、\(s U\)は\(G\)のオープンサブセット（開部分集合）である。
ステップ3:
したがって、\(S U = \cup_{s \in S} s U\)は\(G\)のオープンサブセット（開部分集合）である。
ステップ4:
\(U S = \cup_{s \in S} U s\)であることを見よう。
各\(u s \in U S\)に対して、\(u s \in U s \subseteq \cup_{s \in S} U s\)。
各\(u s \in \cup_{s \in S} U s\)に対して、\(u s \in U S\)。
ステップ5:
各\(s \in S\)に対して、\(f: G \to G, g \mapsto g s\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、インバージョン（逆）マップ（写像）、要素による左または右からのマルチプリケーション（乗法）マップ（写像）、要素によるコンジュゲーション（共役）マップ（写像）たちはホメオモーフィズム（位相同形写像）たちであるという命題によって。
\(U s = f (U)\)、なぜなら、各\(u s \in U s\)に対して、\(u s = f (u) \in f (U)\); 各\(u s \in f (U)\)に対して、\(u s \in U s\)。
したがって、\(U s\)は\(G\)のオープンサブセット（開部分集合）である。
ステップ6:
したがって、\(U S = \cup_{s \in S} U s\)は\(G\)のオープンサブセット（開部分集合）である。
