\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)カバリングマップ（写像）に対して、\(C^\infty\)ユニティのパーティション、コドメイン（余域）上方のイーブンにカバーされたチャートたちカバーに従属する、のプルバックは、\(C^\infty\)ユニティのパーティション、ドメイン（定義域）上方のチャートたちカバーに従属する、であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)カバリングマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、ユニティのパーティション、トポロジカルスペース（空間）のオープンカバー（開被覆）に従属する、の定義を知っている。
- 読者は、ポイントにおける\(q\)-コベクトルたちの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）によるプルバックの定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントの周りの\(r\)-オープンボール（開球）チャートの定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントの周りの\(r\)-オープンハーフボール（開半球）チャートの定義を知っている。
- 読者は、任意のカバリングマップ（写像）に対して、シートたちのカーディナリティたちは同一であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のオープンサブセット（開部分集合）から対応するディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）またはクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のオープンサブセット（開部分集合）の上への任意のマップ（写像）はチャートマップ（写像）である、もしも、それがディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）、オープンサブセット（開部分集合）たちの任意のディスジョイント（互いに素）セット（集合）でそのユニオン（和集合）が当該クローズドサブセット（閉部分集合）を包含するものに対して、当該クローズドサブセット（閉部分集合）と各オープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該スペース（空間）上でクローズド（閉）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間任意の\(C^\infty\)カバリングマップ（写像）に対して、任意の\(C^\infty\)ユニティのパーティション、当該コドメイン（余域）上方の任意のイーブンにカバーされたチャートたちカバーに従属する、のプルバックは、\(C^\infty\)ユニティのパーティション、当該ドメイン（定義域）上方のあるインデュースト（誘導された）チャートたちカバーに従属する、であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全てのコネクテッド（連結された）でローカルにパスコネクテッド（連結された） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全てのコネクテッド（連結された）でローカルにパスコネクテッド（連結された） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ カバリングマップ（写像）たち }\}\)
\(\{(U_{m_{2, j}} \subseteq M_2, \phi_{m_{2, j}}, \rho_{m_{2, j}}) \vert j \in J\}\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ ユニティのパーティション、チャートたちオープンカバー（開被覆）に従属する、たち }\}\)で、\(U_{m_{2, j}}\)がイーブンにカバーされるもの
\(\{(f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l \subseteq M_1, (f \vert_{f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l})^* \phi_{m_{2, j}}, \rho_{f^{-1} (m_{2, j})_l}) \vert j \in J, l \in L\}\)、ここで、\(L\)はシートたちに対するインデックスセット（集合）; \(\rho_{f^{-1} (m_{2, j})_l}: M_1 \to \mathbb{R}\)は以下のように定義される: \(f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l\)の上方では、\(= (f \vert_{f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l})^* \rho_{m_{2, j}}\); \(M_1 \setminus f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l\)の上方では、\(= 0\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\{(f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l \subseteq M_1, (f \vert_{f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l})^* \phi_{m_{2, j}}, \rho_{f^{-1} (m_{2, j})_l}) \vert j \in J, l \in L\} \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ ユニティのパーティション、当該チャートたちオープンカバー（開被覆）に従属する、たち }\}\)
//
2: 注
そうしたある\(\{(U_{m_{2, j}} \subseteq M_2, \phi_{m_{2, j}}, \rho_{m_{2, j}}) \vert j \in J\}\)は不可避に存在する、"証明"内に見られるとおり。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(m_2 \in M_2\)に対して、\(m_2\)のあるイーブンにカバーされたオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_{m_2}\)を取る; ステップ2: \(m_2\)周りの以下を満たすあるチャート\((U_{m_2} \subseteq M_2, \phi_{m_2})\)、つまり、\(U_{m_2} \subseteq U'_{m_2}\)、を取り、必要であればいくつかのチャートたちを取り除き、それでも\(M_2\)をカバーする\(\{(U_{m_{2, j}} \subseteq M_2, \phi_{m_{2, j}})\}\)を得、\(\{(f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l \subseteq M_1, (f \vert_{f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l})^* \phi_{m_{2, j}})\}\)は\(M_1\)のチャートたちカバーであることを見る; ステップ3: 任意の\(C^\infty\)ユニティのパーティション、\(M_2\)の当該チャートたちカバーに従属する、\(\{\rho_{m_{2, j}}\}\)を取り、\(\{\rho_{f^{-1} (m_{2, j})_l}\}\)を取り、それは、\(C^\infty\)ユニティのパーティション、\(M_1\)の当該チャートたちカバーに従属する、であることを見る。
ステップ1:
各\(m_2 \in M_2\)に対して、\(m_2\)のあるイーブンにカバーされたオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_{m_2} \subseteq M_2\)を取ろう。
ステップ2:
\(m_2\)周りの以下を満たすあるコネクテッド（連結された）チャート\((U_{m_2} \subseteq M_2, \phi_{m_2})\)、つまり、\(U_{m_2} \subseteq U'_{m_2}\)、を取ろう、それは可能である、なぜなら、例えば、それは、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントの周りの\(r\)-オープンボール（開球）チャートの定義または\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントの周りの\(r\)-オープンハーフボール（開半球）チャートの定義として取れる。
それらチャートたちのセット（集合）は\(M_2\)をカバーする。
当該セット（集合）はそのまま使うこともできるが、もしも、あなたが望むのであれば、いくつかのチャートたちを取り除き、それでも\(M_2\)をカバーするようにでき、当該セット（集合）を\(\{(U_{m_{2, j}} \subseteq M_2, \phi_{m_{2, j}}) \vert j \in J\}\)と記そう。
明らかに、\(U_{m_{2, j}}\)はイーブンにカバーされており、\(\{f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l \vert l \in L\}\)は\(U_{m_{2, j}}\)のシートたちのセット（集合）である、ここで、\(L\)は全ての\(U_{m_{2, j}}\)たちに対して同一である、任意のカバリングマップ（写像）に対して、シートたちのカーディナリティたちは同一であるという命題によって。
\(f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l\)は\(f^{-1} (m_2)_l\)のオープンネイバーフッド（開近傍）であり、\(f \vert_{f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l}: f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l \to U_{m_{2, j}}\)はディフェオモーフィズムである。
\(\{f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l \vert j \in J, l \in L\}\)を取ろう。
それは\(M_1\)をカバーする、なぜなら、各\(m_1 \in M_1\)に対して、\(f (m_1) \in U_{m_{2, j}}\)、ある\(j \in J\)に対して、\(m_1 \in f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l\)、ある\(l \in L\)に対して。
\((f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l \subseteq M_1, (f \vert_{f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l})^* \phi_{m_{2, j}})\)は\(M_1\)に対するチャートである、なぜなら、\((f \vert_{f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l})^* \phi_{m_{2, j}} = \phi_{m_{2, j}} \circ f \vert_{f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l}\)は対応するディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）またはクローズド（閉）上半面ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のあるオープンサブセット（開部分集合）へのディフェオモーフィズムである、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のオープンサブセット（開部分集合）から対応するディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）またはクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のオープンサブセット（開部分集合）の上への任意のマップ（写像）はチャートマップ（写像）である、もしも、それがディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
したがって、\(\{(f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l \subseteq M_1, (f \vert_{f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l})^* \phi_{m_{2, j}}) \vert j \in J, l \in L\}\)は\(M_1\)に対するチャートたちカバーである。
ステップ3:
任意の\(C^\infty\)ユニティのパーティション、\(M_2\)の当該チャートたちカバーに従属する、\(\{\rho_{m_{2, j}} \vert j \in J\}\)を取ろう、それは可能である、よく知られている事実として。
各\((j, l) \in J \times L\)に対して、\(\rho_{f^{-1} (m_{2, j})_l}: M_1 \to \mathbb{R}\)を定義しよう、以下のように: \(f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l\)上方では、\(\rho_{f^{-1} (m_{2, j})_l} = (f \vert_{f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l})^* \rho_{m_{2, j}}\); \(M_1 \setminus f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l\)上方では、\(\rho_{f^{-1} (m_{2, j})_l} = 0\)。
\(supp \rho_{m_{2, j}} \subseteq U_{m_{2, j}}\)は\(M_2\)のクローズドサブセット（閉部分集合）であるところ、\(f^{-1} (supp \rho_{m_{2, j}}) \subseteq M_1\)はクローズドサブセット（閉部分集合）である、なぜなら、\(f\)はコンティニュアス（連続）である。
\(f^{-1} (supp \rho_{m_{2, j}}) \cap f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l \subseteq M_1\)はクローズドサブセット（閉部分集合）である、任意のトポロジカルスペース（空間）、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）、オープンサブセット（開部分集合）たちの任意のディスジョイント（互いに素）セット（集合）でそのユニオン（和集合）が当該クローズドサブセット（閉部分集合）を包含するものに対して、当該クローズドサブセット（閉部分集合）と各オープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該スペース（空間）上でクローズド（閉）であるという命題によって: \(f^{-1} (supp \rho_{m_{2, j}}) \subseteq f^{-1} (U_{m_{2, j}})\)、ところで、\(f^{-1} (U_{m_{2, j}})\)はシートたちのセット（集合）のユニオン（和集合）である（オープンサブセット（開部分集合）たちのディスジョイント（互いに素）セット（集合））、そして、\(f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l\)は当該シートたちの内の1つである。
\(\rho_{f^{-1} (m_{2, j})_l}\)の非ゼロポイントたちのセット（集合）は\(f^{-1} (supp \rho_{m_{2, j}}) \cap f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l\)内に包含されている、したがって、\(supp \rho_{f^{-1} (m_{2, j})_l} \subseteq f^{-1} (supp \rho_{m_{2, j}}) \cap f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l \subseteq f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l\)。
\(\rho_{f^{-1} (m_{2, j})_l}\)は\(C^\infty\)である、なぜなら、各\(p \in M_1\)に対して、\(p \in f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l\)または\(p \in M_1 \setminus (f^{-1} (supp \rho_{m_{2, j}}) \cap f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l)\)（その両辺内にいるかもしれない）、そして、\(p \in f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l\)である時、\(\rho_{f^{-1} (m_{2, j})_l} \vert_{f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l} = \rho_{m_{2, j}} \circ f \vert_{f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l}\)は\(p\)で\(C^\infty\)である、ところで、\(p \in M_1 \setminus (f^{-1} (supp \rho_{m_{2, j}}) \cap f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l)\)である時は、\(\rho_{f^{-1} (m_{2, j})_l} = 0\)は\(p\)において\(C^\infty\)である: \(M_1 \setminus (f^{-1} (supp \rho_{m_{2, j}}) \cap f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l)\)は\(M_1\)のオープンサブセット（開部分集合）である。
\(\{\rho_{f^{-1} (m_{2, j})_l} \vert j \in J, l \in L\}\)を取ろう。
\(\{\rho_{f^{-1} (m_{2, j})_l} \vert j \in J, l \in L\}\)は\(C^\infty\)ユニティのパーティション、\(\{(f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l \subseteq M_1, (f \vert_{f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l})^* \phi_{m_{2, j}}) \vert j \in J, l \in L\}\)に従属する、であることを見よう。
1) \(\forall j \in J, \forall l \in L, \forall p \in M_1 (0 \le \rho_{f^{-1} (m_{2, j})_l} (p) \le 1)\)は成立する、なぜなら、それは、\(f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l\)上で成立し、\(M_1 \setminus f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l\)。
2) \(\forall j \in J, \forall l \in L (supp \rho_{f^{-1} (m_{2, j})_l} \subseteq f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l)\)は上で見られた。
3) \(\{supp \rho_{f^{-1} (m_{2, j})_l} \vert j \in J, l \in L\} \in \{M_1 \text{ のサブセット（部分集合）たちの全てのローカルにファイナイト（有限）セット（集合）たち }\}\)であることを見よう。
\(p \in M_1\)を任意のものとしよう。
\(f (p)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(W_{f (p)} \subseteq M_2\)で\(\{supp \rho_{m_{2, j}} \vert j \in J'\}\)、ここで、\(J' \subseteq J\)はファイナイト（有限）サブセット（部分集合）、だけと交わるものがある。
もしも、\(f (p) \notin supp \rho_{m_{2, j}}\)、各\(j \in J'' \subset J'\)に対して、である場合、\(W_{f (p)}\)はより小さくして\(W_{f (p)}\)は\(\{supp \rho_{m_{2, j}} \vert j \in J''\}\)のどれとも交わらないようにできる、なぜなら、\(M_2 \setminus supp \rho_{m_{2, j}}\)はオープン（開）であるから、\(f (p)\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(W'_{f (p), j} \subseteq M_2\)、つまり、\(W'_{f (p), j} \subseteq M_2 \setminus supp \rho_{m_{2, j}}\)（したがって、\(W'_{f (p), j} \cap supp \rho_{m_{2, j}} = \emptyset\)）、があり、\(W_{f (p)} \cap \cap_{j \in J''} W'_{f (p), j}\)は、\(f (p)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）で\(\{supp \rho_{m_{2, j}} \vert j \in J' \setminus J''\}\)だけに交わるものである。したがって、\(f (p) \in supp \rho_{m_{2, j}}\)、各\(j \in J'\)に対して、と仮定しよう。
さらに、\(W_{f (p)}\)はより小さくして、それは\(\cap_{j \in J'} U_{m_{2, j}}\)内に包含されているようにできる。
さらに、\(W_{f (p)}\)はより小さくして、それはイーブンにカバーされているようにできる: \(f (p)\)のあるイーブンにカバーされたオープンネイバーフッド（開近傍）があるところ、\(f (p)\)の当該イーブンにカバーされたオープンネイバーフッド（開近傍）と\(W_{f (p)}\)のインターセクション（共通集合）は\(f (p)\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である、したがって、\(f (p)\)のあるコネクテッド（連結された）オープンネイバーフッド（開近傍）で当該インターセクション（共通集合）内に包含されているものを取ろう、それは可能である、なぜなら、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、はローカルにコネクテッド（連結された）である、そして、\(f (p)\)の当該コネクテッド（連結された）オープンネイバーフッド（開近傍）を"\(W_{f (p)}\)"と呼ぼう、再び。
したがって、結局、\(W_{f (p)}\)は、\(f (p)\)のイーブンにカバーされたオープンネイバーフッド（開近傍）で\(\{supp \rho_{m_{2, j}} \vert j \in J'\}\)だけと交わり\(\cap_{j \in J'} U_{m_{2, j}}\)内に包含されているものである。
\(p \in f^{-1} (W_{f (p)})_l \subseteq M_1\)、ある\(l \in L\)に対して、ところで、\(f^{-1} (W_{f (p)})_l\)は\(p\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である。
\(f^{-1} (W_{f (p)})_l \cap supp \rho_{f^{-1} (m_{2, j})_{l'}} \neq \emptyset\)、ある\(j \in J\)およびある\(l' \in L\)に対して、と仮定しよう。
ある\(p' \in f^{-1} (W_{f (p)})_l \cap supp \rho_{f^{-1} (m_{2, j})_{l'}} \subseteq f^{-1} (W_{f (p)})_l \cap f^{-1} (supp \rho_{m_{2, j}})\)（それは、上で見られた）があるところ、\(f (p') \in W_{f (p)} \cap supp \rho_{m_{2, j}}\)、それが意味するのは、\(j \in J'\)。
\(W_{f (p)} \subseteq U_{m_{2, j}}\)であるから、\(f^{-1} (W_{f (p)})_l \subseteq f^{-1} (U_{m_{2, j}}) = \cup_{l' \in L} f^{-1} (U_{m_{2, j}})_{l'}\)、したがって、\(f^{-1} (W_{f (p)})_l = f^{-1} (W_{f (p)})_l \cap \cup_{l' \in L} f^{-1} (U_{m_{2, j}})_{l'} = \cup_{l' \in L} (f^{-1} (W_{f (p)})_l \cap f^{-1} (U_{m_{2, j}})_{l'})\)、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。
しかし、各\(f^{-1} (W_{f (p)})_l \cap f^{-1} (U_{m_{2, j}})_{l'}\)は\(f^{-1} (W_{f (p)})_l\)のオープンサブセット（開部分集合）であり、\(\{f^{-1} (W_{f (p)})_l \cap f^{-1} (U_{m_{2, j}})_{l'} \vert l' \in L\}\)はディスジョイント（互いに素）である、したがって、もしも、\(\{f^{-1} (W_{f (p)})_l \cap f^{-1} (U_{m_{2, j}})_{l'} \vert l' \in L\}\)内に\(1\)個以上の非空要素があったら、\(f^{-1} (W_{f (p)})_l\)はコネクテッド（連結された）でないことになる、矛盾、したがって、\(f^{-1} (W_{f (p)})_l \cap f^{-1} (U_{m_{2, j}})_{l'} = \emptyset\)、唯\(1\)個の\(l' \in L\)を除いて、しかし、\(supp \rho_{f^{-1} (m_{2, j})_{l'}} \subseteq f^{-1} (U_{m_{2, j}})_{l'}\)であるから、\(f^{-1} (W_{f (p)})_l \cap supp \rho_{f^{-1} (m_{2, j})_{l'}} = \emptyset\)、当該唯\(1\)個の\(l'\)を除いて。
したがって、\(f^{-1} (W_{f (p)})_l\)は、ファイナイト（有限）個の\(supp \rho_{f^{-1} (m_{2, j})_{l'}}\)たちだけと交わる: \(j \in J'\)、当該ファイナイト（有限）\(J'\)に対して、そして、唯\(1\)個の\(l'\)、各\(j\)に対して。
4) \(\forall p \in M_1 (\sum_{j \in J, l \in L} \rho_{f^{-1} (m_{2, j})_l} (p) = 1)\)であることを見よう。
\(J' := \{j \in J \vert p \in f^{-1} (U_{m_{2, j}})\}\)としよう。
各\(j \in J'\)に対して、\(p \in f^{-1} (U_{m_{2, j}})_l\)、ある唯\(1\)個の\(l \in L\)に対して、そして、\(l\)は\(j\)に依存するから、それを\(p \in f^{-1} (U_{m_{2, j}})_{l (j)}\)と表わそう。
\(\sum_{j \in J, l \in L} \rho_{f^{-1} (m_{2, j})_l} (p) = \sum_{j \in J'} \rho_{f^{-1} (m_{2, j})_{l (j)}} (p) = \sum_{j \in J'} \rho_{m_{2, j}} \circ f (p) = \sum_{j \in J'} \rho_{m_{2, j}} (f (p))\)。
\(p \in f^{-1} (U_{m_{2, j}})\)は\(f (p) \in U_{m_{2, j}}\)に他ならない、したがって、\(J' = \{j \in J \vert f (p) \in U_{m_{2, j}}\}\)。
したがって、\(\sum_{j \in J'} \rho_{m_{2, j}} (f (p)) = \sum_{j \in J} \rho_{m_{2, j}} (f (p)) = 1\)。
したがって、\(\sum_{j \in J, l \in L} \rho_{f^{-1} (m_{2, j})_l} (p) = 1\)、結局。
