グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））からノルム付きベクトルたちスペース（空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものの中へのユニフォームにコンティニュアス（連続）なマップ（写像）の定義
話題
About: グループ（群）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）の定義を知っている。
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））からノルム付きベクトルたちスペース（空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものの中へのユニフォームにコンティニュアス（連続）なマップ（写像）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)で、任意のトポロジーを持ち、グループ（群）オペレーションたちがコンティニュアス（連続）であるもの
\( V\): \(\in \{\text{ 全てのノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、当該ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(*f\): \(: G \to V\)
//
コンディションたち:
\(\forall \epsilon \in \mathbb{R} \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } 0 \lt \epsilon (\exists U_1 \subseteq G \in \{1 \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち } \} (\forall g_1, g_2 \in G \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } g_1 {g_2}^{-1} \in U_1 (\Vert f (g_1) - f (g_2) \Vert \lt \epsilon)))\)
//
2: 注
\(g_1 {g_2}^{-1} \in U_1\)は、\(g_1\)それ自体または\(g_2\)それ自体を制限しない、なぜなら、各\(g_1 \in G\)に対して、\(g_2\)は\({U_1}^{-1} g_1\)内の任意のものでよい、なぜなら、その時、\({g_2}^{-1} \in {g_1}^{-1} U_1\)および\(g_1 {g_2}^{-1} \in U_1\); 各\(g_2 \in G\)に対して、\(g_1\)は\(U_1 g_2\)内の任意のものでよい、なぜなら、その時、\(g_1 {g_2}^{-1} \in U_1\)。
\(f\)は不可避にコンティニュアス（連続）である、なぜなら、各\(g_2 \in G\)に対して、\(U_1 g_2 \subseteq G\)は\(g_2\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、任意の要素を\(1\)の任意の（オープン（開））ネイバーフッド（近傍）によって左または右から掛けたものは当該要素の（オープン（開））ネイバーフッド（近傍）であるという命題によって、そして、各\(g_1 \in U_1 g_2\)に対して、\(g_1 {g_2}^{-1} \in U_1\)、したがって、\(\Vert f (g_1) - f (g_2) \Vert \lt \epsilon\)、それが意味するのは、\(f (U_1 g_2) \in B_{f (g_2), \epsilon}\)。
