グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））からノルム付きベクトルたちスペース（空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものの中へのコンティニュアスマップ（連続写像）に対して、もしも、非ゼロたちのプリイメージ（前像）がドメイン（定義域）のコンパクトサブセット（部分集合）内に包含されている場合、マップ（写像）はユニフォームにコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））からノルム付きベクトルたちスペース（空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものの中へのユニフォームにコンティニュアス（連続）なマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））、任意の要素、当該要素の任意のネイバーフッド（近傍）に対して、\(1\)のあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）で当該要素に\(1\)の当該ネイバーフッド（近傍）を左から掛けて\(1\)の当該ネイバーフッド（近傍）のインバース（逆）を右から掛けたものが当該要素の当該ネイバーフッド（近傍）に包含されているものがあるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、\(1\)の任意のネイバーフッド（近傍）、任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）に対して、\(1\)のあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）でその当該ナチュラルナンバー（自然数）乗が当該ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものがあるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、任意の要素を\(1\)の任意の（オープン（開））ネイバーフッド（近傍）によって左または右から掛けたものは当該要素の（オープン（開））ネイバーフッド（近傍）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびその任意のポイントに対して、当該ポイントのファイナイト（有限）個の任意のネイバーフッド（近傍）たちのインターセクション（共通集合）は当該ポイントのネイバーフッド（近傍）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）に対して、任意のシンメトリック（対称）サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）はシンメトリック（対称）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））から任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものの中へのコンティニュアスマップ（連続写像）に対して、もしも、非ゼロたちのプリイメージ（前像）が当該ドメイン（定義域）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）内に包含されている場合、当該マップ（写像）はユニフォームにコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)で、任意のトポロジーを持ち、グループ（群）オペレーションたちはコンティニュアス（連続）であるもの
\(V\): \(\in \{\text{ 全てのノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、当該ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(f\): \(: G \to V\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists K \in \{G \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\} (f^{-1} (V \setminus \{0\}) \subseteq K)\)
\(\implies\)
\(f \in \{\text{ 全てのユニフォームにコンティニュアス（連続）なマップ（写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(k \in K\)に対して、\(k\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_k\)、つまり、\(f (U_k) \subseteq B_{f (k), \epsilon / 2}\)、を取る; ステップ2: \(1\)の以下を満たすあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）\(W_{1, k}\)、つまり、\(W_{1, k} W_{1, k} k \subseteq U_k\)、を取る; ステップ3: \(K\)のあるファイナイト（有限）カバー\(\{W_{1, k_j} k_j \vert j \in J\}\)を取る; ステップ4: \(W_1 := \cap_{j \in J} W_{1, k_j}\)を取る; ステップ5: \(g g'^{-1} \in W_1\)を満たす各\(g, g' \in G\)に対して、\(\Vert f (g) - f (g') \Vert \lt \epsilon\)であることを見る。
ステップ1:
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
\(k \in K\)を任意のものとしよう。
\(k\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_k \subseteq G\)、つまり、\(f (U_k) \subseteq B_{f (k), \epsilon / 2}\)、がある、なぜなら、\(f\)はコンティニュアス（連続）である。
ステップ2:
\(1\)の以下を満たすあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）\(W'_{1, k}\)、つまり、\(W'_{1, k} k {W'_{1, k}}^{-1} \subseteq U_k\)、がある、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））、任意の要素、当該要素の任意のネイバーフッド（近傍）に対して、\(1\)のあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）で当該要素に\(1\)の当該ネイバーフッド（近傍）を左から掛けて\(1\)の当該ネイバーフッド（近傍）のインバース（逆）を右から掛けたものが当該要素の当該ネイバーフッド（近傍）に包含されているものがあるという命題によって、すると、\(W'_{1, k} k \subseteq W'_{1, k} k {W'_{1, k}}^{-1} \subseteq U_k\)。
\(1\)の以下を満たすあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）\(W_{1, k}\)、つまり、\(W_{1, k} W_{1, k} \subseteq W'_{1, k}\)、がある、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、\(1\)の任意のネイバーフッド（近傍）、任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）に対して、\(1\)のあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）でその当該ナチュラルナンバー（自然数）乗が当該ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものがあるという命題によって。
したがって、\(W_{1, k} W_{1, k} k \subseteq U_k\)、したがって、\(W_{1, k} W_{1, k} \subseteq U_k k^{-1}\)。
また、\(W_{1, k} k \subseteq U_k\)、なぜなら、\(W_{1, k} \subseteq W_{1, k} W_{1, k}\)、なぜなら、各\(w \in W_{1, k}\)に対して、\(w = w 1 \in W_{1, k} W_{1, k}\)、したがって、\(W_{1, k} k \subseteq W_{1, k} W_{1, k} k\)。
ステップ3:
各\(W_{1, k} k \subseteq G\)は\(k\)のネイバーフッド（近傍）である、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、任意の要素を\(1\)の任意の（オープン（開））ネイバーフッド（近傍）によって左または右から掛けたものは当該要素の（オープン（開））ネイバーフッド（近傍）であるという命題によって、したがって、\(k\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(V_k \subseteq G\)、つまり、\(k \in V_k \subseteq W_{1, k} k\)、がある。
\(\{V_k \vert k \in K\}\)は\(K\)をカバーする、したがって、\(\{V_k \vert k \in K\}\)は\(K\)のオープンカバー（開被覆）である。
\(K\)はコンパクトであるから、あるファイナイト（有限）サブカバー\(\{V_{k_j} \vert j \in J\}\)がある。
\(\{W_{1, k_j} k_j \vert j \in J\}\)は\(K\)のファイナイト（有限）カバーである。
ステップ4:
\(W_1 := \cap_{j \in J} W_{1, k_j} \subseteq G\)を取ろう、それは\(1\)のシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびその任意のポイントに対して、当該ポイントのファイナイト（有限）個の任意のネイバーフッド（近傍）たちのインターセクション（共通集合）は当該ポイントのネイバーフッド（近傍）であるという命題および任意のグループ（群）に対して、任意のシンメトリック（対称）サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）はシンメトリック（対称）であるという命題によって。
ステップ5:
\(g, g' \in G\)を、\(g g'^{-1} \in W_1\)を満たす任意のものとしよう。
\(g, g' \notin K\)である時、\(\Vert f (g) - f (g') \Vert = \Vert 0 - 0 \Vert = 0 \lt \epsilon\)。
\(g' \in K\)であると仮定しよう。
\(g' \in W_{1, k_j} k_j \subseteq U_{k_j}\)、ある\(j \in J\)に対して。
したがって、\(g' {k_j}^{-1} \in W_{1, k_j}\)。
\(g g'^{-1} \in W_{1, k_j}\)、なぜなら、\(g g'^{-1} \in W_1 \subseteq W_{1, k_j}\)。
\(g {k_j}^{-1} = (g g'^{-1}) (g' {k_j}^{-1}) \in W_{1, k_j} W_{1, k_j} \subseteq U_{k_j} {k_j}^{-1}\)。
したがって、\(g \in U_{k_j}\)。
\(g, g' \in U_{k_j}\)であるから、\(\Vert f (g) - f (g') \Vert = \Vert f (g) - f (k_j) + f (k_j) - f (g') \Vert \le \Vert f (g) - f (k_j) \Vert + \Vert f (k_j) - f (g') \Vert \lt \epsilon / 2 + \epsilon / 2 = \epsilon\)。
\(g \in K\)であると仮定しよう。
\(g \in W_{1, k_j} k_j \subseteq U_{k_j}\)、ある\(j \in J\)に対して。
したがって、\(g {k_j}^{-1} \in W_{1, k_j}\)。
\(g' g^{-1} \in W_{1, k_j}\)、なぜなら、\(g' g^{-1} = (g g'^{-1})^{-1} \in {W_1}^{-1} \subseteq W_{1, k_j}^{-1} = W_{1, k_j}\)。
\(g' {k_j}^{-1} = (g' g^{-1}) (g {k_j}^{-1}) \in W_{1, k_j} W_{1, k_j} \subseteq U_{k_j} {k_j}^{-1}\)。
したがって、\(g' \in U_{k_j}\)。
\(g, g' \in U_{k_j}\)であるから、\(\Vert f (g) - f (g') \Vert = \Vert f (g) - f (k_j) + f (k_j) - f (g') \Vert \le \Vert f (g) - f (k_j) \Vert + \Vert f (k_j) - f (g') \Vert \lt \epsilon / 2 + \epsilon / 2 = \epsilon\)。
したがって、いずれにせよ、\(\Vert f (g) - f (g') \Vert \lt \epsilon\)。
