オープンマップ（開写像）たちのファイナイト（有限）プロダクトはオープン（開）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロダクトマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
- 読者は、オープンマップ（開写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）イメージ（像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のプロダクトマップ（写像）に対して、任意のプロダクトサブセット（部分集合）のイメージ（像）は、当該コンポーネントサブセット（部分集合）たちの当該コンポーネントたちマップ（写像）たち下のイメージ（像）たちのプロダクトであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、オープンマップ（開写像）たちの任意のファイナイト（有限）プロダクトはオープン（開）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{T_{1, j} \vert j \in J\}\): \(T_{1, j} \in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\{T_{2, j} \vert j \in J\}\): \(T_{2, j} \in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\{f_j \vert j \in J\}\): \(f_j: T_{1, j} \to T_{2, j} \in \{\text{ 全てのオープンマップ（開写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\times_{j \in J} f_j \in \{\text{ 全てのオープンマップ（開写像）たち }\}\)
//
2: 注
本命題は、\(J\)がファイナイト（有限）であるよう要求する、"証明"内に言及されている理由のため。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意のオープンサブセット（開部分集合）\(U \subseteq \times_{j \in J} T_{1, j}\)を取り、\(U = \cup_{j' \in J'} \times_{j \in J} U_{1, j, j'}\)であることを見る; ステップ2: \((\times_{j \in J} f_j) (U) = \cup_{j' \in J'} \times_{j \in J} f_j (U_{1, j, j'})\)であることを見る。
ステップ1:
\(U \subseteq \times_{j \in J} T_{1, j}\)を任意のオープンサブセット（開部分集合）としよう。
\(U = \cup_{j' \in J'} \times_{j \in J} U_{1, j, j'}\)、ここで、\(J'\)はあるアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）で\(U_{1, j, j'} \subseteq T_{1, j} \)はオープン（開）: プロダクトトポロジーの定義に対する"注"を参照のこと。
ステップ2:
\((\times_{j \in J} f_j) (U) = (\times_{j \in J} f_j) (\cup_{j' \in J'} \times_{j \in J} U_{1, j, j'}) = \cup_{j' \in J'} (\times_{j \in J} f_j) (\times_{j \in J} U_{1, j, j'})\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）イメージ（像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、\(= \cup_{j' \in J'} \times_{j \in J} f_j (U_{1, j, j'})\)、任意のプロダクトマップ（写像）に対して、任意のプロダクトサブセット（部分集合）のイメージ（像）は、当該コンポーネントサブセット（部分集合）たちの当該コンポーネントたちマップ（写像）たち下のイメージ（像）たちのプロダクトであるという命題によって。
各\(f_j\)はオープン（開）であるから、各\(f_j (U_{1, j, j'}) \subseteq T_{2, j}\)はオープン（開）である。
したがって、\(\cup_{j' \in J'} \times_{j \in J} f_j (U_{1, j, j'})\)はオープン（開）である: プロダクトトポロジーの定義に対する"注"を参照のこと。
注意として、本命題は、\(J\)がファイナイト（有限）であるよう要求する、なぜなら、そうでなければ、各固定された\(j'\)に対して、\(f_j (U_{1, j, j'})\)たちの内のファイナイト（有限）数のものたちだけが\(T_{2, j}\)でないよう許されていたが、それが保証されないことになる: \(U_{1, j, j'}\)の内のファイナイト（有限）数のものたちだけが\(T_{1, j}\)でなかったという事実は当該要求を保証しないだろう、なぜなら、\(f_j\)たちは必ずしもサージェクティブ（全射）ではなかった。
したがって、\(\times_{j \in J} f_j\)はオープン（開）である。
