ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの、デンスサブセット（密部分集合）からスペース（空間）の中へのマップ（写像）、デンスサブセット（密部分集合）で第1サブセット（部分集合）を包含するものからスペース（空間）の中へのマップ（写像）でそのアジョイントがスペース（空間）をドメイン（定義域）として持つものに対して、\(2\)個のマップ（写像）たちの和のアジョイントは\(2\)個のマップ（写像）たちのアジョイントたちの和であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの、任意のデンスサブセット（密部分集合）から当該スペース（空間）の中への任意のマップ（写像）、任意のデンスサブセット（密部分集合）で第1サブセット（部分集合）を包含するものから当該スペース（空間）の中への任意のマップ（写像）でそのアジョイントが当該スペース（空間）をドメイン（定義域）として持つものに対して、当該\(2\)個のマップ（写像）たちの和のアジョイントは当該\(2\)個のマップ（写像）たちのアジョイントたちの和であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{H}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）を持ち、当該インナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(S_1\): \(\in \{V \text{ の全てのデンスサブセット（密部分集合）たち }\}\)
\(S_2\): \(\in \{V \text{ の全てのデンスサブセット（密部分集合）たち }\}\)で、\(S_1 \subseteq S_2\)を満たすもの
\(f_1\): \(: S_1 \to V\)
\(f_2\): \(: S_2 \to V\)
\({f_1}^*\): \(= f_1 \text{ のアジョイント }\), \(: {S_1}^* \to V\)
\({f_2}^*\): \(= f_2 \text{ のアジョイント }\), \(: V \to V\)
\(f_1 + f_2\): \(: S_1 \to V\)
\((f_1 + f_2)^*\): \(= f_1 + f_2 \text{ のアジョイント }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\((f_1 + f_2)^*: {S_1}^* \to V = {f_1}^* + {f_2}^*\)
//
2: 注
典型的には、\(S_2 = V\)、しかし、注意として、それは\({S_2}^* = V\)を保証しない。
\(S_2 = V\)かつ\({S_2}^* = V\)であるある例は、任意の\(r \in F\)に対して\(f_2: V \to V, v \mapsto r v\): \({f_2}^*: V \to V, v \mapsto \overline{r} v\)、なぜなら、各\(v, v' \in V\)に対して、\(\langle v', r v \rangle = \langle \overline{r} v', v \rangle\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(v' \in {S_1}^*\)に対して、各\(s \in S_1\)に対して、\(\langle ({f_1}^* + {f_2}^*) v', s \rangle = \langle v', (f_1 + f_2) s \rangle\)であることを見よう; ステップ2: 以下を満たす\(v' \in V \setminus {S_1}^*\)、つまり、各\(s \in S_1\)に対して\(\langle v'', s \rangle = \langle v', (f_1 + f_2) s \rangle\)を満たすある\(v'' \in V\)がある、はないことを見る。
ステップ1:
\(v' \in {S_1}^*\)を任意のものとしよう。
各\(s \in S_1\)に対して、\(\langle v', (f_1 + f_2) s \rangle = \langle v', f_1 s + f_2 s \rangle = \langle v', f_1 s \rangle + \langle v', f_2 s \rangle = \langle {f_1}^* v', s \rangle + \langle {f_2}^* v', s \rangle = \langle {f_1}^* v' + {f_2}^* v', s \rangle = \langle ({f_1}^* + {f_2}^*) v', s \rangle\)。
それが意味するのは、\((f_1 + f_2)^*\)のドメイン（定義域）は\({S_1}^*\)を包含し、\({S_1}^*\)上方で\((f_1 + f_2)^* = {f_1}^* + {f_2}^*\)であること、しかし、\((f_1 + f_2)^*\)のドメイン（定義域）が\({S_1}^*\)に等しいことは意味しない、まだ。
ステップ2:
\(v' \in V \setminus {S_1}^*\)で、以下を満たす\(v'' \in V\)、つまり、各\(s \in S_1\)に対して\(\langle v'', s \rangle = \langle v', (f_1 + f_2) s \rangle\)を満たす、がある、はないことを見よう。
そうしたある\(v' \in V \setminus {S_1}^*\)があったと仮定しよう。
\(\langle v', (f_1 + f_2) s \rangle = \langle v', f_1 s + f_2 s \rangle = \langle v', f_1 s \rangle + \langle v', f_2 s \rangle = \langle v', f_1 s \rangle + \langle {f_2}^* v', s \rangle\)、なぜなら、\({S_2}^* = V\)。
他方で、\(\langle v'', s \rangle = \langle v'' - {f_2}^* v' + {f_2}^* v', s \rangle = \langle v'' - {f_2}^* v', s \rangle + \langle {f_2}^* v', s \rangle\)。
したがって、\(\langle v', f_1 s \rangle + \langle {f_2}^* v', s \rangle = \langle v'' - {f_2}^* v', s \rangle + \langle {f_2}^* v', s \rangle\)、それが含意することになるのは、\(\langle v', f_1 s \rangle = \langle v'' - {f_2}^* v', s \rangle\)、それが意味することになるのは、\(v' \in {S_1}^*\)、\(v' \in V \setminus {S_1}^*\)に反する矛盾。
したがって、そうした\(v' \in V \setminus {S_1}^*\)はない。
それが意味するのは、\((f_1 + f_2)^*\)のドメイン（定義域）は\({S_1}^*\)に等しいこと。
