ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもののデンスサブセット（密部分集合）から同一ベクトルたちスペース（空間）の中へのマップ（写像）に対して、マップ（写像）のアジョイントのカーネル（核）はマップ（写像）のレンジ（値域）のオーソゴーナル（直交）コンプリメント（補）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものの任意のデンスサブセット（密部分集合）から同一ベクトルたちスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）のアジョイントのカーネル（核）は当該マップ（写像）のレンジ（値域）のオーソゴーナル（直交）コンプリメント（補）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{H}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）を持ち、当該インナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(S\): \(\in \{V \text{ の全てのデンスサブセット（密部分集合）たち }\}\)
\(f\): \(: S \to V\)
\(f^*\): \(= f \text{ のアジョイント }\), \(: S^* \to V\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(Ker (f^*) = (Ran (f))^\perp\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(Ker (f^*) \subseteq (Ran (f))^\perp\)であることを見る; ステップ2: \((Ran (f))^\perp \subseteq Ker (f^*)\)であることを見る。
ステップ1:
\(v \in Ker (f^*)\)を任意のものとしよう。
各\(s \in S\)に対して、\(\langle v, f (s) \rangle = \langle f^* (v), s \rangle = \langle 0, s \rangle = 0\)。
それが意味するのは、\(v \in (Ran (f))^\perp\)。
ステップ2:
\(v \in (Ran (f))^\perp\)を任意のものとしよう。
各\(s \in S\)に対して、\(\langle v, f (s) \rangle = 0 = \langle 0, s \rangle\)、それが意味するのは、\(v \in S^*\)および\(f^* (v) = 0\)。
したがって、\(v \in Ker (f^*)\)。
