ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもののデンス（密）サブセット（部分集合）から同一ベクトルたちスペース（空間）の中へのマップ（写像）のアジョイントマップ（写像）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）の定義を知っている。
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムの定義を知っている。
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のデンス（密）サブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもののデンス（密）サブセット（部分集合）から同一ベクトルたちスペース（空間）の中へのマップ（写像）のアジョイントマップ（写像）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカルフィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\( V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）を持ち、当該インナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\( S\): \(\in \{V \text{ の全てのデンス（密）サブセット（部分集合）たち }\}\)
\( f\): \(: S \to V\)
\( S^*\): \(= \{v \in V \vert \exists v' \in V (\forall s \in S (\langle v, f (s) \rangle = \langle v', s \rangle))\}\)
\(*f^*\): \(: S^* \to V\)
//
コンディションたち:
\(\forall v \in S^* (\langle v, f (s) \rangle = \langle f^* (v), s \rangle)\)
//
2: 注
\(f^*\)はウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。
\(S^*\)はそのように定義されているから、以下を満たす少なくとも1個の\(v' \in V\)、つまり、\(\langle v, f (s) \rangle = \langle v', s \rangle\)、がある。
問題は、そうした\(v'\)が各\(v \in S^*\)に対してユニークであるか否かである。
\(v'' \in V\)を、\(\forall s \in S (\langle v, f (s) \rangle = \langle v'', s \rangle)\)を満たす他の任意のものとしよう。
\(\langle v, f (s) \rangle = \langle v', s \rangle = \langle v'', s \rangle\)、したがって、\(\langle v', s \rangle - \langle v'', s \rangle = \langle v' - v'', s \rangle = 0\)。
\(S\)はデンス（密）であるから、各\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、以下を満たすある\(s_n \in S\)、つまり、\(\langle v' - v'' - s_n, v' - v'' - s_n \rangle \lt 1 / n\)、がある、それが意味するのは、シーケンス（列）\(s_1, s_2, ...\)は\(v' - v''\)へコンバージ（収束）するということ、したがって、\(lim_{n \to \infty} s_n = v' - v''\)。
\(\langle v' - v'', s_n \rangle = 0\)、したがって、\(lim_{n \to \infty} \langle v' - v'', s_n \rangle = 0\)。
任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、任意の1個の引数を固定したインナープロダクト（内積）はコンティニュアス（連続）マップ（写像）であるという命題および任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）およびダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）による任意のネットで当該ドメイン（定義域）上の任意のポイントへコンバージ（収束）するものに対して、当該ネットのイメージ（像）は当該ポイントのイメージ（像）へコンバージ（収束）し、もしも、当該コドメイン（余域）がハウスドルフである場合、当該ネットのイメージ（像）のコンバージェンス（収束ポイント）は当該ポイントのイメージ（像）であるという命題によって、\(lim_{n \to \infty} \langle v' - v'', s_n \rangle = \langle v' - v'', lim_{n \to \infty} s_n \rangle = \langle v' - v'', v' - v'' \rangle = 0\)。
したがって、\(v' - v'' = 0\)、したがって、\(v' = v''\)。
したがって、\(f^*\)はウェルデファインド（妥当に定義された）である。
本概念が妥当なのは、\(V\)の任意のデンス（密）サブセット（部分集合）から\(V\)の中への\(f\)に対してのみである、なぜなら、もしも、それが別のスペース（空間）\(V'\)の中へのものであったら、\(\langle v, f (s) \rangle\)は意味をなさないであろう、なぜなら、\(v\)と\(f (s)\)は異なるベクトルたちスペース（空間）たち内にあることになり、そのインナープロダクト（内積）はどのベクトルたちスペース（空間）上で定義されていたのか？; そして、当該ドメイン（定義域）はデンス（密）サブセット（部分集合）である必要がある、なぜなら、\(v'\)のユニーク性の証明はそれがデンス（密）であるよう要求するから。
通常、\(V\)はヒルベルトスペース（空間）であると仮定される、しかし、定義のウェルデファインド（妥当に定義された）性の証明は、コンプリート（完備）性を使わなかった。
