\(d'\)-ディメンショナル（次元）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、\(d\)-ディメンショナル（次元）イマーストサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、サブマニフォールド（部分多様体）上のポイントに対して、もしも、ベースマニフォールド（多様体）上のチャートでそのサブマニフォールド（部分多様体）上のリストリクション（制限）が\(d' - d\)コンポーネントたちに関してコンスタントであるものがある場合、サブマニフォールド（部分多様体）上のタンジェント（接）スペース（空間）はスタンダードベーシス（標準基底）の\(d\)コンポーネントたちによってスパン（張る）されることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対する、チャートに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の\(C^\infty\)マップ（写像）および任意の対応するチャートたちに対して、当該マップ（写像）のディファレンシャルの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間任意のリニアマップ（線形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のベクトルたちサブスペース（部分空間）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）または任意のベーシス（基底）のイメージ（像）は、当該コドメイン（余域）上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）またはベーシス（基底）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のフィールド（体）上方の任意のベクトルたちスペース（空間）および当該フィールド（体）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）でディメンショナル（次元）が当該ベクトルたちスペース（空間）のディメンショナル（次元）に等しいかそれより小さいものに対して、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である、もしも、それが、ベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なあるセット（集合）をベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）へマップする場合、そして、もしも、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である場合、それは、ベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）な任意のセット（集合）をベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）へマップする、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(d'\)-ディメンショナル（次元）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、任意の\(d\)-ディメンショナル（次元）イマーストサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、当該サブマニフォールド（部分多様体）上の任意のポイントに対して、もしも、当該ベースマニフォールド（多様体）上の当該ポイント周りの任意のチャートでその当該サブマニフォールド（部分多様体）上のリストリクション（制限）が任意の\(d' - d\)コンポーネントたちに関してコンスタントであるものがある場合、当該サブマニフォールド（部分多様体）上の当該ポイントにおけるタンジェント（接）スペース（空間）の当該インクルージョン（封入）ディファレンシャル下でのイメージ（像）は当該スタンダードベーシス（標準基底）の当該\(d\)コンポーネントたちによってスパン（張る）されるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M'\): \(\in \{\text{ 全ての } d' \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M\): \(\in \{M' \text{ の全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元）イマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(\iota\): \(: M \to M'\), \(= \text{ 当該インクルージョン（封入） }\)
\(m\): \(\in M\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists (U'_m \subseteq M', \phi'_m) \in \{m \text{ 周りの } M' \text{ に対する全てのチャートたち }\} (\phi'_m \vert_{U'_m \cap M}: U'_m \cap M \to \phi'_m (U'_m), m' \mapsto (y^1, ..., y^d, c^{d + 1}, ..., c^{d'}))\)、ここで、\(\{c^{d + 1}, ..., c^{d'}\}\)は何らかのコンスタントたち
\(\implies\)
\(d \iota T_mM = Span (\partial / \partial y^1, ..., \partial / \partial y^d)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(m\)周りの\(M\)上の以下を満たす任意のチャート\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)、つまり、\(\iota (U_m) \subseteq U'_m\)、を取り、\(d \iota \vert_{T_mM}: v^j \partial / \partial x^j \mapsto \partial \hat{\iota}^j / \partial x^l v^l \partial / \partial y^j\)、ここで、\(\hat{\iota} = \phi'_m \circ \iota \circ {\phi_m}^{-1}\)、であることを見る; ステップ2: \(d \iota T_mM = span (\partial / \partial y^1, ..., \partial / \partial y^d)\)であることを見る。
ステップ1:
\(m\)周りの\(M\)上の以下を満たす任意のチャート\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)、つまり、\(\iota (U_m) \subseteq U'_m\)、を取ろう、それは可能である、なぜなら、\(\iota\)はコンティニュアス（連続）である。
\(d \iota \vert_{T_mM}: v^j \partial / \partial x^j \mapsto \partial \hat{\iota}^j / \partial x^l v^l \partial / \partial y^j\)、ここで、\(\hat{\iota} = \phi'_m \circ \iota \circ {\phi_m}^{-1}\)、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の\(C^\infty\)マップ（写像）および任意の対応するチャートたちに対して、当該マップ（写像）のディファレンシャルの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれであるという命題によって。
ステップ2:
仮定によって、各\(j \in \{d + 1, ..., d'\}\)および各\(l \in \{1, ..., d\}\)に対して、\(\partial \hat{\iota}^j / \partial x^l = 0\)。
したがって、\(\partial \hat{\iota}^j / \partial x^l v^l \partial / \partial y^j = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \partial \hat{\iota}^j / \partial x^l v^l \partial / \partial y^j\)。
したがって、\(d \iota T_mM \subseteq Span (\{\partial / \partial y^1, ..., \partial / \partial y^d\})\)。
\(d \iota T_mM\)は、当該ベクトルたちスペース（空間）のあるベクトルたちサブスペース（部分空間）で\(\{\partial / \partial y^1, ..., \partial / \partial y^d\}\)によってスパン（張る）されるものである、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間任意のリニアマップ（線形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のベクトルたちサブスペース（部分空間）であるという命題によって。
\(d \iota \vert_{T_mM}\)はリニア（線形）インジェクション（単射）であるから、\(d \iota \vert_{T_mM}: T_mM \to d \iota \vert_{T_mM} (T_mM)\)はリニア（線形）バイジェクション（全単射）であり、'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって、そして、\(\{d \iota \vert_{T_mM} \partial / \partial x^1, ..., d \iota \vert_{T_mM} \partial / \partial x^d\}\)は\(d \iota T_mM\)に対するあるベーシス（基底）である、任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）または任意のベーシス（基底）のイメージ（像）は、当該コドメイン（余域）上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）またはベーシス（基底）であるという命題によって。
\(d \iota T_mM\)の各要素は\(\sum_{j \in \{1, ..., d\}} \partial \hat{\iota}^j / \partial x^l v^l \partial / \partial y^j\)として表わされるので、以下を満たすある\(d \times d\)リニア（実）マトリックス（行列）\(M\)、つまり、\(\begin{pmatrix} d \iota \vert_{T_mM} \partial / \partial x^1 \\ ... \\ d \iota \vert_{T_mM} \partial / \partial x^d \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} \partial / \partial y^1 \\ ... \\ \partial / \partial y^d \end{pmatrix}\)、がある。
\((d \iota \vert_{T_mM} \partial / \partial x^1, ..., d \iota \vert_{T_mM} \partial / \partial x^d)\)はリニアにインディペンデント（線形独立）で\((\partial / \partial y^1, ..., \partial / \partial y^d)\)はリニアにインディペンデント（線形独立）であるから、\(M\)はインバーティブル（可逆）である、任意のフィールド（体）上方の任意のベクトルたちスペース（空間）および当該フィールド（体）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）でディメンショナル（次元）が当該ベクトルたちスペース（空間）のディメンショナル（次元）に等しいかそれより小さいものに対して、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である、もしも、それが、ベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なあるセット（集合）をベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）へマップする場合、そして、もしも、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である場合、それは、ベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）な任意のセット（集合）をベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）へマップする、という命題によって。
したがって、\(\begin{pmatrix} \partial / \partial y^1 \\ ... \\ \partial / \partial y^d \end{pmatrix} = M^{-1} \begin{pmatrix} d \iota \vert_{T_mM} \partial / \partial x^1 \\ ... \\ d \iota \vert_{T_mM} \partial / \partial x^d \end{pmatrix}\)。
したがって、\(\{\partial / \partial y^1, ..., \partial / \partial y^d\} \subseteq d \iota T_mM\)、したがって、\(Span (\{\partial / \partial y^1, ..., \partial / \partial y^d\}) \subseteq d \iota T_mM\)、なぜなら、\(d \iota T_mM\)はベクトルたちスペース（空間）である。
したがって、\(d \iota T_mM = Span (\partial / \partial y^1, ..., \partial / \partial y^d)\)。
