メトリックスペース（計量付き空間）上のポイント周りのクローズドボール（閉球）の定義
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のポイント周りのクローズドボール（閉球）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M\): \(\in \{ \text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち } \}\)
\( m\): \(\in M\)
\( \epsilon\): \(\in \mathbb{R}\)で、\(0 \lt \epsilon\)を満たすもの
\(*B'_{m, \epsilon}\): \(= \{m' \in M \vert dist (m, m') \le \epsilon\}\)
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コンディションたち:
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2: 注
クローズドボール（閉球）は必ずしも、各\(r \le \epsilon\)に対して、以下を満たすあるポイント\(p \in B'_{m, \epsilon}\)、つまり、\(dist (m, p) = r\)、があることを意味しない、それは問題ない。
あるサブスペース（部分空間）\(M \subseteq \mathbb{R}^d\)、ここで、\(\mathbb{R}^d\)はユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）とみなされる、あるポイント\(m \in M\)、ある\(\epsilon\)に対して、\(B'_{m, \epsilon}\)は\(\mathbb{R}^d\)上におけるクローズドボール（閉球）ではないかもしれない、しかし、それは、\(M\)上におけるあるクローズドボール（閉球）である、問題なく: \(M\)上におけるあるクローズドボール（閉球）は、\(\mathbb{R}^d\)上におけるクローズドボール（閉球）である必要はない。
ユークリディアントポロジカルスペース（空間）\(\mathbb{R}^d\)上の全てのクローズドボール（閉球）たちは、厳密に、ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）\(\mathbb{R}^d\)上の全てのクローズドボール（閉球）たちである。
\(M\)で当該メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、\(B'_{m, \epsilon}\)は、必ずしも、\(B_{m, \epsilon}\)のクロージャー（閉包）ではない、任意のメトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、任意のクローズドボール（閉球）はクローズド（閉）であり、同一半径を持つ対応するオープンボール（開球）のクロージャー（閉包）を包含するが、必ずしもそれに等しくないという命題によって。
