セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）はコンパクトである、もしも、それがカウンタブル（可算）にコンパクトである場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、カウンタブル（可算）にコンパクトなトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）上で、任意のサブセット（部分集合）の任意のオープンカバー（開被覆）はカウンタブル（可算）サブカバーを持つという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）はコンパクトである、もしも、それがカウンタブル（可算）にコンパクトである場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのコンパクトトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\iff\)
\(T \in \{\text{ 全てのカウンタブル（可算）にコンパクトなトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: 任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）上で、任意のサブセット（部分集合）の任意のオープンカバー（開被覆）はカウンタブル（可算）サブカバーを持つという命題を適用する; ステップ1: \(T\)はコンパクトであると仮定する; ステップ2: \(T\)はカウンタブル（可算）にコンパクトであることを見る; ステップ3: \(T\)はカウンタブル（可算）にコンパクトであると仮定する; ステップ4: \(T\)はコンパクトであることを見る。
ステップ1:
\(T\)はコンパクトであると仮定しよう。
ステップ2:
\(T\)はカウンタブル（可算）にコンパクトである、なぜなら、\(T\)の任意のカウンタブル（可算）オープンカバー（開近傍）に対して、それは、\(T\)のあるオープンカバー（開被覆）である、したがって、あるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）がある、なぜなら、\(T\)はコンパクトである。
ステップ3:
\(T\)はカウンタブル（可算）にコンパクトであると仮定しよう。
ステップ4:
\(T\)の任意のオープンカバー（開被覆）に対して、あるカウンタブル（可算）サブカバー（部分被覆）がある、任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）上で、任意のサブセット（部分集合）の任意のオープンカバー（開被覆）はカウンタブル（可算）サブカバーを持つという命題によって。
\(T\)はカウンタブル（可算）にコンパクトであるから、当該カウンタブル（可算）サブカバー（部分被覆）のあるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）がある。
しかし。当該ファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）は、元のオープンカバー（開被覆）のあるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）である。
したがって、\(T\)はコンパクトである。
