メトリックスペース（計量付き空間）に対して、クローズドボール（閉球）はクローズド（閉）であり、同一半径を持つオープンボール（開球）のクロージャー（閉包）を包含するが、必ずしもそれに等しくないことの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のポイントの周りのオープンボール（開球）の定義を知っている。
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のポイント周りのクローズドボール（閉球）の定義を知っている。
- 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、任意のクローズドボール（閉球）はクローズド（閉）であり、同一半径を持つ対応するオープンボール（開球）のクロージャー（閉包）を包含するが、必ずしもそれに等しくないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)で、当該メトリック（計量付き）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(m\): \(\in M\)
\(\epsilon\): \(\in \mathbb{R}\)で、\(0 \lt \epsilon\)を満たすもの
\(B'_{m, \epsilon}\): \(\in \{m \text{ における全てのクローズドボール（閉球）たち }\}\)
\(B_{m, \epsilon}\): \(\in \{m \text{ におけるオープンボール（開球）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(B'_{m, \epsilon} \in \{M \text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\}\)
\(\land\)
\(\overline{B_{m, \epsilon}} \subseteq B'_{m, \epsilon}\)
//
2: 注
勿論、任意のユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上では、\(\overline{B_{m, \epsilon}} = B'_{m, \epsilon}\)である、しかし、一般のメトリックスペース（計量付き空間）上では、必ずしもそうでないことに注意が必要である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(B'_{m, \epsilon}\)はクローズド（閉）であり\(B_{m, \epsilon}\)を包含することを見る; ステップ2: \(B'_{m, \epsilon}\)が\(\overline{B_{m, \epsilon}}\)に等しくないある例を見る。
ステップ1:
\(B'_{m, \epsilon} \subseteq M\)はクローズド（閉）であることを見よう。
\(p \in M \setminus B'_{m, \epsilon}\)を任意のものとしよう。
\(r := dist (m, p)\)としよう。
\(\epsilon \lt r\)。
\(B_{p, (r - \epsilon) / 2} \subseteq M\)を取ろう。
\(B_{p, (r - \epsilon) / 2} \subseteq M \setminus B'_{m, \epsilon}\)、なぜなら、各\(p' \in B_{p, (r - \epsilon) / 2}\)に対して、\(r = dist (m, p) \le dist (m, p') + dist (p', p) \lt dist (m, p') + (r - \epsilon) / 2\)、したがって、\(r - (r - \epsilon) / 2 \lt dist (m, p')\)、しかし、左辺は、\((r + \epsilon) / 2\)であり、\(\epsilon \lt (r + \epsilon) / 2\)、したがって、\(\epsilon \lt dist (m, p')\)、それが意味するのは、\(p' \notin B'_{m, \epsilon}\)。
したがって、オープン（開）であることのローカル基準によって、\(M \setminus B'_{m, \epsilon} \subseteq M\)はオープン（開）である、したがって、\(B'_{m, \epsilon} \subseteq M\)はクローズド（閉）である。
明らかに、\(B_{m, \epsilon} \subseteq B'_{m, \epsilon}\)。
\(\overline{B_{m, \epsilon}}\)は、\(B_{m, \epsilon}\)を包含する全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たちのインターセクション（共通集合）であるから、\(\overline{B_{m, \epsilon}} \subseteq B'_{m, \epsilon}\)。
ステップ2:
\(B'_{m, \epsilon}\)が\(\overline{B_{m, \epsilon}}\)に等しくないある例を見よう。
\(\mathbb{R}^2\)をユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）としよう。
\(M \subset \mathbb{R}^2\)を当該メトリックサブスペース（計量付き部分空間）\(\{p \in \mathbb{R}^2 \vert dist (0, p) \lt 1\} \cup \{p \in \mathbb{R}^2 \vert 2 \le dist (0, p)\}\)としよう。
注意として、\(\{p \in \mathbb{R}^2 \vert dist (0, p) \lt 1\} = B_{0, 1}\)。
すると、\(B_{0, 2}\)は\(B_{0, 1}\)である、それはクローズド（閉）である、なぜなら、各\(p' \in M \setminus B_{0, 1}\)に対して、\(B_{p', 1 / 2} \subseteq M \setminus B_{0, 1}\)、したがって、\(M \setminus B_{0, 1}\)はオープン（開）である。
したがって、\(\overline{B_{0, 2}} = B_{0, 2}\)。
しかし、\(B'_{0, 2}\)は\(B_{0, 2}\)に等しくない。
