ノルム付きベクトルたちスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）からノルム付きベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）のポイントにおけるデリバティブ（微分係数）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）からノルム付きベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）のポイントにおけるデリバティブ（微分係数）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( V_1\): \(\in \{\text{ 全てのノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、当該ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\( V_2\): \(\in \{\text{ 全てのノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( S_1\): \(\in \{V_1 \text{ の全てのサブセット（部分集合）たち }\}\)
\( S_2\): \(\in \{V_2 \text{ の全てのサブセット（部分集合）たち }\}\)
\( f\): \(: S_1 \to S_2\)
\( s_1\): \(\in S_1\)
\(*{D f}_{s_1}\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(\exists U'_{s_1} \subseteq V_1 \in \{s_1 \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\}, \exists f': U'_{s_1} \to V_2 (f' \vert_{U'_{s_1} \cap S_1} = f \vert_{U'_{s_1} \cap S_1} \land {D f'}_{s_1} \text{ は、 } f' \text{ の選択から独立に存在する } \land {D f}_{s_1} = {D f'}_{s_1})\)
//
2: 注
\({D f}_{s_1}\)は、必ずしも存在しない。
\({D f}_{s_1}\)が存在する時、それは、ユニークである、なぜなら、"コンディションたち"は、\({D f'}_{s_1}\)が\(f'\)の選択に依存しないよう要求している。
\({D f'}_{s_1}\)が\(f'\)の選択に依存しないある典型的なケースは、\(\{r s'_1 \in V_1 \vert s_1 + s'_1 \in S_1 \land r \in F\} = V_1\)、ここで、\(F\)は\(V_1\)および\(V_2\)のフィールド（体）、および\(s_1 + s'_1 \in S_1\)を満たす各\(s'_1 \in V_1\)に対して、\(s_1 + r s'_1 \in S_1\)、\(0 \lt r\)を満たすある十分小さい\(r \in \mathbb{R}\)に対して。
当該典型的ケースのいくつかの典型的例たちは、ハーフクローズド（半閉）サブセット（部分集合）たちである、\(V_1 = \mathbb{R}\)、\(S_1 = [a, b)\)、\(s_1 = a\)、および\(V_1 = \mathbb{R}^2\)、\(S_1 = \{(r^1, r^2) \in \mathbb{R}^2 \vert a \le r^2 \lt b\}\)、\(s_1 = (a, c)\)のような。
\(s_1 + r s'_1 \in S_1\)が満たされないある例は、\(V_1 = \mathbb{R}\)、\(S_1 = \{0\} \cup [1, 2)\)、\(s_1 = 0\)、\(f: 0 \mapsto 0, r \in [1, 2) \mapsto 2 r\): \(s_1 + s'_1 = 0 + 1 = 1 \in S_1\)、しかし、\(r s'_1 \notin S_1\)、すると、\(f' = 3 r\)および\(f'' = 4 r\)（それは、\(f' \vert_{U'_{s_1} \cap S_1} = f'' \vert_{U'_{s_1} \cap S_1} = f \vert_{U'_{s_1} \cap S_1}\)を満たす）に対して、\({D f'}_{s_1} = 3 \neq 4 = {D f''}_{s_1}\)。
当該典型的ケースが、\({D f'}_{s_1}\)が\(f'\)の選択に依存しないことを保証することを見よう。
\(f'': U''_{s_1} \to V_2\)を他の任意のエクステンション（拡張）としよう。
\(s'_1 \in V_1\)を、\(s_1 + s'_1 \in S_1\)を満たす任意のものとしよう。
以下を満たすある十分小さい\(r \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt r\)および\(s_1 + r s'_1 \in U'_{s_1} \cap U''_{s_1}\)、がある、しかし、当該典型的ケースは、\(r\)が以下を満たす十分小さいもの、つまり、\(s_1 + r s'_1 \in U'_{s_1} \cap U''_{s_1} \cap S_1\).、に選べるよう指令する。
\(f' (s_1 + r s'_1) = f' (s_1) + {D f'}_{s_1} (r s'_1) + r' (s_1, r s'_1)\)および\(f'' (s_1 + r s'_1) = f'' (s_1) + {D f''}_{s_1} (r s'_1) + r'' (s_1, r s'_1)\)。
しかし、\(f' (s_1 + r s'_1) = f'' (s_1 + r s'_1)\)および\(f' (s_1) = f'' (s_1)\)であるから、\({D f'}_{s_1} (r s'_1) - {D f''}_{s_1} (r s'_1) + r' (s_1, r s'_1) - r'' (s_1, r s'_1) = 0\)。
\(\Vert {D f'}_{s_1} (r s'_1) - {D f''}_{s_1} (r s'_1) \Vert = \Vert {D f'}_{s_1} (r s'_1) - {D f''}_{s_1} (r s'_1) + r' (s_1, r s'_1) - r'' (s_1, r s'_1) - (r' (s_1, r s'_1) - r'' (s_1, r s'_1)) \Vert = \Vert 0 - (r' (s_1, r s'_1) - r'' (s_1, r s'_1)) \Vert \le \Vert r' (s_1, r s'_1) - r'' (s_1, r s'_1) \Vert \le \Vert r' (s_1, r s'_1) \Vert + \Vert r'' (s_1, r s'_1) \Vert\)。
\(\lim_{\Vert r s'_1 \Vert \to 0} \Vert {D f'}_{s_1} (r s'_1) - {D f''}_{s_1} (r s'_1) \Vert / \Vert r s'_1 \Vert \le \lim_{\Vert r s'_1 \Vert \to 0} (\Vert r' (s_1, r s'_1) \Vert + \Vert r'' (s_1, r s'_1) \Vert) / \Vert r s'_1 \Vert = \lim_{\Vert r s'_1 \Vert \to 0} \Vert r' (s_1, r s'_1) \Vert / \Vert r s'_1 \Vert + \lim_{\Vert r s'_1 \Vert \to 0} \Vert r'' (s_1, r s'_1) \Vert) / \Vert r s'_1 \Vert = 0 + 0 = 0\)。
\({D f'}_{s_1} (r s'_1) - {D f''}_{s_1} (r s'_1)\)は\(r s'_1\)に関してリニア（線形）である、したがって、\({D f'}_{s_1} (t r s'_1) - {D f''}_{s_1} (t r s'_1) = t ({D f'}_{s_1} (r s'_1) - {D f''}_{s_1} (r s'_1))\)、そして、\(\lim_{t \to 0} \Vert {D f'}_{s_1} (t r s'_1) - {D f''}_{s_1} (t r s'_1) \Vert / \Vert t r s'_1 \Vert = \lim_{t \to 0} \Vert t ({D f'}_{s_1} (r s'_1) - {D f''}_{s_1} (r s'_1)) \Vert / (\vert t \vert \Vert r s'_1 \Vert) = \lim_{t \to 0} \vert t \vert \Vert {D f'}_{s_1} (r s'_1) - {D f''}_{s_1} (r s'_1) \Vert / (\vert t \vert \Vert r s'_1 \Vert) = \lim_{t \to 0} \Vert {D f'}_{s_1} (r s'_1) - {D f''}_{s_1} (r s'_1) \Vert / \Vert r s'_1 \Vert = 0\)、したがって、\(\Vert {D f'}_{s_1} (r s'_1) - {D f''}_{s_1} (r s'_1) \Vert = 0\)、それが含意するのは、\({D f'}_{s_1} (r s'_1) - {D f''}_{s_1} (r s'_1) = 0\)。
しかし、\({D f'}_{s_1} (r s'_1) - {D f''}_{s_1} (r s'_1) = r ({D f'}_{s_1} (s'_1) - {D f''}_{s_1} (s'_1))\)であるから、\({D f'}_{s_1} (s'_1) - {D f''}_{s_1} (s'_1) = 0\)。
すると、各\(s''_1 \in V_1\)に対して、当該典型的ケースは、ある\(s'_1\)に対して\(s''_1 = r s'_1\)と指令する、したがって、\({D f'}_{s_1} (s''_1) = {D f'}_{s_1} (r s'_1) = r {D f'}_{s_1} (s'_1) = r {D f''}_{s_1} (s'_1) = {D f''}_{s_1} (r s'_1) = {D f''}_{s_1} (s''_1)\)。
したがって、\({D f'}_{s_1} = {D f''}_{s_1}\)。
ハーフクローズドサブセット（半閉部分集合）ケース\(V_1 = \mathbb{R}\)、\(S_1 = [a, b)\)（実のところ、それは\([a, b]\)でもよい）、\(s_1 = a\)に対して、\({D f}_{s_1}\)はワンサイデッド（片側）デリバティブ（微分係数）であることを見よう。
任意のワンサイデッド（片側）デリバティブ（微分係数）\(d \in V_2\)が存在すると仮定しよう。
それが意味するのは、\(d = lim_{s'_1 \to 0+} (f (a + s'_1) - f (a)) / s'_1\)、それが意味するのは、\(lim_{s'_1 \to 0+} \Vert d - (f (a + s'_1) - f (a)) / s'_1 \Vert = 0\)。
\(U'_a := (a - \delta, a + \delta)\)および\(f': U'_a \to V_2, r \in (a - \delta, a) \mapsto f (a) + (r - a) d, r \in [a, a + \delta) \mapsto f (r)\)としよう。
\(f' (a + s'_1) = f' (a) + s'_1 d + r' (a, s'_1)\)としよう。
\(r' (a, s'_1) = f' (a + s'_1) - f' (a) - s'_1 d\)、そして、\(\Vert r' (a, s'_1) \Vert / \Vert s'_1 \Vert = \Vert f' (a + s'_1) - f' (a) - s'_1 d \Vert / \Vert s'_1 \Vert = \Vert f' (a + s'_1) - f' (a) - s'_1 d \Vert / \vert s'_1 \vert = \Vert (f' (a + s'_1) - f' (a) - s'_1 d) / s'_1 \Vert = \Vert (f' (a + s'_1) - f' (a)) / s'_1 - d \Vert\)。
\(lim_{s'_1 \to 0+} \Vert (f' (a + s'_1) - f' (a)) / s'_1 - d \Vert = lim_{s'_1 \to 0+} \Vert (f (a + s'_1) - f (a)) / s'_1 - d \Vert = 0\)、上で見られたとおり。
\(lim_{s'_1 \to 0-} \Vert (f' (a + s'_1) - f' (a)) / s'_1 - d \Vert = lim_{s'_1 \to 0-} \Vert (f (a) + s'_1 d - (f (a) + 0)) / s'_1 - d \Vert = lim_{s'_1 \to 0-} \Vert (s'_1 d) / s'_1 - d \Vert = lim_{s'_1 \to 0-} \Vert d - d \Vert = lim_{s'_1 \to 0-} \Vert 0 \Vert = lim_{s'_1 \to 0-} 0 = 0\)。
それが意味するのは、\(lim_{s'_1 \to 0} \Vert r' (a, s'_1) \Vert / \Vert s'_1 \Vert = 0\)。
それが意味するのは、\({D f'}_a = d\)、\(r \in \mathbb{R}\)を\(r d\)へマップするリニアマップ（線形写像）。
ある\(U'_a \subseteq \mathbb{R}\)およびある\(f': U'_a \to V_2\)が\({D f'}_a\)を持って存在すると仮定しよう。
それが意味するのは、\(f' (a + s'_1) = f' (a) + {D f'}_a s'_1 + r' (a, s'_1)\)および\(lim_{s'_1 \to 0} \Vert r' (a, s'_1) \Vert / \Vert s'_1 \Vert = 0\)。
したがって、\(lim_{s'_1 \to 0+} \Vert r' (a, s'_1) \Vert / \Vert s'_1 \Vert = 0\)、しかし、\(lim_{s'_1 \to 0+} \Vert r' (a, s'_1) \Vert / \Vert s'_1 \Vert = lim_{s'_1 \to 0+} \Vert f (a + s'_1) - f (a) - {D f'}_a s'_1 \Vert / \vert s'_1 \vert = lim_{s'_1 \to 0+} \Vert (f (a + s'_1) - f (a) - {D f'}_a s'_1) / s'_1 \Vert = lim_{s'_1 \to 0+} \Vert (f (a + s'_1) - f (a)) / s'_1 - {D f'}_a s'_1 / s'_1 \Vert\)、ここで、\(d := {D f'}_a s'_1 / s'_1 \in V_2\)はコンスタントベクトルである、\({D f'}_a\)はあるリニアマップ（線形写像）であるから、それが意味するのは、\(lim_{s'_1 \to 0+} (f (a + s'_1) - f (a)) / s'_1 = d\)。
それが意味するのは、\(d\)は当該ワンサイデッド（片側）デリバティブ（微分係数）であること。
\({D f'}_a s'_1 = s'_1 d\)、したがって、\({D f'}_a\)は、\(r\)を\(r d\)へマップするリニアマップ（線形写像）である。
\(V_1 = \mathbb{R}\)、\(S_1 = (a, b] \text{ または } [a, b]\)、\(s_1 = b\)というケースに対しても同様である。
