ファイナイト（有限）プロダクトメトリックスペース（計量付き空間）およびオープンボール（開球）に対して、オープンボール（開球）内に包含されているオープンボール（開球）たちのプロダクトがあり、その（プロダクト）中にオープンボール（開球）が包含されていることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）プロダクトメトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）プロダクトメトリックスペース（計量付き空間）および任意のオープンボール（開球）に対して、当該オープンボール（開球）内に包含されている何らかのオープンボール（開球）たちのプロダクトがあり、その（プロダクト）中にあるオープンボール（開球）が包含されているという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{M_j \vert j \in J\}\): \(M_j \in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)で、任意のメトリック（計量）\(dist_j\)を持つもの
\(\times_{j \in J} M_j\): \(= \text{ 当該ファイナイト（有限）プロダクトメトリックスペース（計量付き空間） }\)で、ファイナイト（有限）プロダクトメトリック（計量）\(dist\)を持つもの
\(m\): \(\in \times_{j \in J} M_j\)
\(B_{m, \epsilon}\): \(\in \{m \text{ 周りの全てのオープンボール（開球）たち }\}\)
\(\beta\): \(= \epsilon / \sqrt{\vert J \vert}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(B_{m, \beta} \subseteq \times_{j \in J} B_{m^j, \beta} \subseteq B_{m, \epsilon}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\times_{j \in J} B_{m^j, \beta} \subseteq B_{m, \epsilon}\)であることを見る; ステップ2: \(B_{m, \beta} \subseteq \times_{j \in J} B_{m^j, \beta}\)であることを見る。
ステップ1:
\(\times_{j \in J} B_{m^j, \beta} \subseteq B_{m, \epsilon}\)であることを見よう。
\(p \in \times_{j \in J} B_{m^j, \beta}\)を任意のものとしよう。
\(dist (m, p) = \sqrt{\sum_{j \in J} dist_j (m^j, p^j)^2}\)。
\(p^j \in B_{m^j, \beta}\)であるから、\(dist_j (m^j, p^j) \lt \beta\)。
したがって、\(\sqrt{\sum_{j \in J} dist_j (m^j, p^j)^2} \lt \sqrt{\sum_{j \in J} \beta^2} = \sqrt{\sum_{j \in J} \epsilon^2 / \vert J \vert} = \epsilon\)。
したがって、\(p \in B_{m, \epsilon}\)。
ステップ2:
\(B_{m, \beta} \subseteq \times_{j \in J} B_{m^j, \beta}\)であることを見よう。
\(p \in B_{m, \beta}\)を任意のものとしよう。
\(dist (m, p) \lt \beta\)。
\(dist (m, p) = \sqrt{\sum_{j \in J} dist_j (m^j, p^j)^2}\)。
各\(j \in J\)に対して、\(dist_j (m^j, p^j)^2 \le \sum_{j \in J} dist_j (m^j, p^j)^2\)、したがって、\(dist_j (m^j, p^j) \le \sqrt{\sum_{j \in J} dist_j (m^j, p^j)^2} \lt \beta\)。
したがって、\(p^j \in B_{m^j, \beta}\)。
したがって、\(p \in \times_{j \in J} B_{m^j, \beta}\)。
