ファイナイト（有限）プロダクトメトリックスペース（計量付き空間）からメトリックスペース（空間）の中へのマップ（写像）でポイントにおいてコンティニュアス（連続）なものに対して、ドメイン（定義域）のコンポーネントたちのセット（集合）が固定されたインデュースト（誘導された）マップ（写像）はポイントにおいてコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）プロダクトメトリックスペース（計量付き空間）から任意のメトリックスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）なものに対して、当該ドメイン（定義域）のコンポーネントたちの任意のセット（集合）が固定されたインデュースト（誘導された）マップ（写像）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J'\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{M_j \vert j \in J'\}\): \(M_j \in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)で、任意のメトリック（計量）\(dist_j\)を持つもの
\(\times_{j \in J'} M_j\): \(= \text{ 当該ファイナイト（有限）プロダクトメトリックスペース（計量付き空間） }\)で、ファイナイト（有限）プロダクトメトリック（計量）\(dist\)を持つもの
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
\(f'\): \(: \times_{j \in J'} M_j \to M\)
\(J\): \(\subseteq J'\)
\(\pi_1\): \(: \times_{j \in J'} M_j \to \times_{j \in J} M_j\), \(= \text{ 当該プロジェクション（射影） }\)
\(\pi_2\): \(: \times_{j \in J'} M_j \to \times_{j \in J' \setminus J} M_j\), \(= \text{ 当該プロジェクション（射影） }\)
\(m'\): \(\in \times_{j \in J'} M_j\)
\(g_{m'}\): \(: \times_{j \in J} M_j \to \times_{j \in J'} M_j, m \mapsto g_{m'} (m) \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } \pi_1 (g_{m'} (m)) = m \land \pi_2 (g_{m'} (m)) = \pi_2 (m')\)
\(f_{m'}\): \(: \times_{j \in J} M_j \to M, m \mapsto f' (g_{m'} (m))\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f' \in \{m' \text{ においてコンティニュアス（連続）な全てのマップ（写像）たち }\}\)
\(\implies\)
\(f_{m'} \in \{\pi_1 (m') \text{ においてコンティニュアス（連続）な全てのマップ（写像）たち }\}\)
//
2: 注
\(f'\)がコンティニュアス（連続）である時は、\(f_{m'}\)はコンティニュアス（連続）である: 以下を満たす各\(m'' \in \times_{j \in J'} M_j\)、つまり、\(\pi_2 (m') = \pi_2 (m'')\)、に対して、\(f_{m'} = f_{m''}\)、そして、\(\pi_1 (m'')\)たちは\(\times_{j \in J} M_j\)をカバーする。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の\(B_{f_{m'} (\pi_1 (m')), \epsilon}\)および以下を満たすある\(B_{m', \delta}\)、つまり、\(f' (B_{m', \delta}) \subseteq B_{f_{m'} (\pi_1 (m')), \epsilon}\)、を取る; ステップ2: 以下を満たすある\(B_{\pi_1 (m'), \beta}\)、つまり、\(g_{m'} (B_{\pi_1 (m'), \beta}) \subseteq B_{m', \delta}\)、を取る; ステップ3: \(f_{m'} (B_{\pi_1 (m'), \beta}) \subseteq B_{f_{m'} (\pi_1 (m')), \epsilon}\)であることを見る。
ステップ1:
任意の\(B_{f_{m'} (\pi_1 (m')), \epsilon} \subseteq M\)を取ろう。
\(g_{m'} (\pi_1 (m')) = m'\)、そして、\(f_{m'} (\pi_1 (m')) = f' (g_{m'} (\pi_1 (m'))) = f' (m')\)。
したがって、\(B_{f_{m'} (\pi_1 (m')), \epsilon} = B_{f' (m'), \epsilon}\)。
\(f'\)は\(m'\)においてコンティニュアス（連続）であるから、以下を満たすある\(B_{m', \delta} \subseteq \times_{j \in J'} M_j\)、つまり、\(f' (B_{m', \delta}) \subseteq B_{f_{m'} (\pi_1 (m')), \epsilon}\)、がある。
ステップ2:
以下を満たす\(\beta := \delta / \sqrt{\vert J' \vert}\)、つまり、\(\times_{j \in J'} B_{m'^j, \beta} \subseteq B_{m', \delta}\)、がある、任意のファイナイト（有限）プロダクトメトリックスペース（計量付き空間）および任意のオープンボール（開球）に対して、当該オープンボール（開球）内に包含されている何らかのオープンボール（開球）たちのプロダクトがあり、その（プロダクト）中にあるオープンボール（開球）が包含されているという命題によって。
すると、\(\times_{j \in J} B_{m'^j, \beta} \subseteq \times_{j \in J} M_j\)は\(g_{m'} (\times_{j \in J} B_{m'^j, \beta}) \subseteq \times_{j \in J'} B_{m'^j, \beta}\)を満たす、なぜなら、各\(p \in \times_{j \in J} B_{m'^j, \beta}\)に対して、\(\pi_1 (g_{m'} (p)) = p\)、したがって、\(\pi_1 (g_{m'} (p))^j = p^j \in B_{m'^j, \beta}\)、そして、\(\pi_2 (g_{m'} (p)) = \pi_2 (m')\)、したがって、\(\pi_2 (g_{m'} (p))^j = \pi_2 (m')^j \in B_{m'^j, \beta}\)。
しかし、\(\times_{j \in J} B_{m'^j, \beta} = \times_{j \in J} B_{\pi_1 (m')^j, \beta}\)。
\(B_{\pi_1 (m'), \beta} \subseteq \times_{j \in J} B_{\pi_1 (m')^j, \beta}\)、任意のファイナイト（有限）プロダクトメトリックスペース（計量付き空間）および任意のオープンボール（開球）に対して、当該オープンボール（開球）内に包含されている何らかのオープンボール（開球）たちのプロダクトがあり、その（プロダクト）中にあるオープンボール（開球）が包含されているという命題によって。
したがって、\(g_{m'} (B_{\pi_1 (m'), \beta}) \subseteq g_{m'} (\times_{j \in J} B_{\pi_1 (m')^j, \beta}) \subseteq \times_{j \in J'} B_{m'^j, \beta} \subseteq B_{m', \delta}\)。
ステップ3:
したがって、\(f_{m'} (B_{\pi_1 (m'), \beta}) = f' \circ g_{m'} (B_{\pi_1 (m'), \beta}) \subseteq f' (B_{m', \delta}) \subseteq B_{f_{m'} (\pi_1 (m')), \epsilon}\)。
したがって、\(f_{m'}\)は\(\pi_1 (m')\)においてコンティニュアス（連続）である。
