メトリックスペース（計量付き空間）上のサブセット（部分集合）たち間ディスタンス（距離）の定義
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のサブセット（部分集合）たち間ディスタンス（距離）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
\( S_1\): \(\subseteq M\)
\( S_2\): \(\subseteq M\)
\(*dist (S_1, S_2)\): \(\in \mathbb{R}\), \(= Inf (\{dist (s_1, s_2) \vert s_1 \in S_1, s_2 \in S_2\})\)
//
コンディションたち:
//
2: 注
\(dist (S_1, S_2)\)は存在する、各\(S_1\)および\(S_2\)に対して、なぜなら、\(0 \le dist (s_1, s_2)\)であり、\(\mathbb{R}\)の任意のローワーバウンデッド（下方有界）サブセット（部分集合）はインフィマム（下限）を持つ、よく知られているとおり。
\(0 \le dist (S_1, S_2)\)、なぜなら、\(0 \le dist (s_1, s_2)\)。
\(dist (S_1, S_2) = dist (S_2, S_1)\)、なぜなら、\(Inf (\{dist (s_1, s_2) \vert s_1 \in S_1, s_2 \in S_2\}) = Inf (\{dist (s_2, s_1) \vert s_2 \in S_2, s_1 \in S_1\})\)。
しかし、トライアングル（三角）不等式"\(dist (S_1, S_2) \le dist (S_1, S_3) + dist (S_3, S_2)\)"は必ずしも成立しない、あるメトリックスペース（計量付き空間）に対して、何らかのサブセット（部分集合）たち間ディスタンス（距離）は必ずしもトライアングル（三角）不等式を満たさないによって。
