リアルポリノミアル（実多項式）は1-次リアルポリノミアル（実多項式）たちおよび2-次リアルポリノミアル（実多項式）たちに分解されることの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリアルポリノミアル（実多項式）は何らかの1-次リアルポリノミアル（実多項式）たちおよび何らかの2-次リアルポリノミアル（実多項式）たちに分解されるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R} [x]\): \(= \mathbb{R} \text{ 上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環） }\)
\(p (x)\): \(\in \mathbb{R} [x]\), \(= r_n x^n + ... + r_0\)、ここで、\(r_n \neq 0\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(p (x)\)は何らかの1-次リアルポリノミアル（実多項式）たちおよび何らかの2-次リアルポリノミアル（実多項式）たちに分解される
//
2: 証明
全体戦略: 逐次的に、ある1-次または2-次リアルポリノミアル（実多項式）を因子として取り出す; ステップ1: \(p (x)\)が\(2\)-次に等しいかそれより小さい次数のものである時、それに対して何もする必要がないことを見る; ステップ2: \(p (x)\)が\(2\)-次より大きい次数のものである時、\(p (x)\)をあるコンプレックスポリノミアル（複素多項式）とみなし、\(p (x) = r_n (x - c_1) ... (x - c_n)\)と取る、アリスメティック（代数学）の基本定理によって; ステップ3: \(c_1\)はリアル（実）であるか、ある\(c_j = \overline{c_1}\)があることを見て、\(p (x)\)を\(r_n (x - c_1)\)または\(r_n (x - c_1) (x - c_j)\)で割ったものはあるリアルポリノミアル（実多項式）\(q (x)\)であることを見る; ステップ4: \(q (x)\)に対して逐次的に同様に行なう。
ステップ1:
\(p (x)\)が\(2\)-次に等しいかそれより小さい次数のものである時、それに対して何もする必要がない。
ステップ2:
\(p (x)\)は\(2\)-次より大きい次数のものであると仮定しよう。
\(p (x)\)は、あるコンプレックスポリノミアル（複素多項式）であるとみなすことができる。
アリスメティック（代数学）の基本定理によって、\(p (x) = r_n (x - c_1) ... (x - c_n)\)、ここで、\(c_1, ..., c_n\)は重複しているかもしれないコンプレックスナンバー（複素数）たち。
ステップ3:
もしも、\(c_1\)がリアル（実）である場合、\(q (x) := (x - c_2) ... (x - c_n)\)はあるリアルポリノミアル（実多項式）である、なぜなら、それは、\(p (x)\)を\(r_n (x - c_1)\)で割ったクウォシェント（商）である、任意のフィールド（体）および任意のサブフィールド（部分体）に対して、当該フィールド（体）上方の任意のポリノミアル（多項式）および任意の非ゼロポリノミアル（多項式）ディバイザー（除数）で両方共にサブフィールド（部分体）コエフィシェント（係数）たちのみを持つものたちは、両方ともサブフィールド（部分体）コエフィシェント（係数）たちのみを持つクウォシェント（商）およびリメインダー（余り）を持つという命題によって。
もしも、\(c_1\)がリアル（実）でない場合、ある\(c_j = \overline{c_1}\)、ここで、\(\overline{c_1}\)は当該コンプレックスコンジュゲート（複素共役）、がある、なぜなら、\(p (c_1) = 0\)であるから、\(p (\overline{c_1}) = \overline{p (c_1)} = 0\)、なぜなら、コンプレックスコンジュゲート（複素共役）たちの任意のマルチプリケーション（積）は当該マルチプリケーション（積）のコンジュゲート（共役）であり、コンプレックスコンジュゲート（複素共役）たちの任意のアディション（和）は当該アディション（和）のコンジュゲート（複素共役）である。
\((x - c_1) (x - c_j)\)はあるリアル（実）2-次ポリノミアル（多項式）である、なぜなら、\((x - c_1) (x - c_j) = (x - c_1) (x - \overline{c_1}) = x^2 - x (c_1 + \overline{c_1}) + c_1 \overline{c_1}\)、ここで、\(c_1 + \overline{c_1}\)はリアル（実）であり\(c_1 \overline{c_1} = \vert c_1 \vert^2\)はリアル（実）である。
\(q (x) := (x - c_2) ... \widehat{(x - c_j)} ... (x - c_n)\)（\(\widehat{(x - c_j)}\)は、\((x - c_j)\)が欠けていることを意味する）は、あるリアルポリノミアル（実多項式）である、なぜなら、それは、\(p (x)\)を\(r_n (x - c_1) (x - c_j)\)で割ったクウォシェント（商）である、任意のフィールド（体）および任意のサブフィールド（部分体）に対して、当該フィールド（体）上方の任意のポリノミアル（多項式）および任意の非ゼロポリノミアル（多項式）ディバイザー（除数）で両方共にサブフィールド（部分体）コエフィシェント（係数）たちのみを持つものたちは、両方ともサブフィールド（部分体）コエフィシェント（係数）たちのみを持つクウォシェント（商）およびリメインダー（余り）を持つという命題によって。
ステップ4:
もしも、\(q (x)\)は\(2\)-次に等しいかそれより小さい次数のものである場合、それに対して何もする必要がない。
そうでなければ、\(q (x)\)に対して、\(p (x)\)に対してと同様に行なう。
等々と続く、結局、\(q (x)\)は、\(2\)次に等しいかそれより小さい次数のものになる。
こうして、\(p (x)\)は何らかの1-次リアルポリノミアル（実多項式）たちおよび何らかの2-次リアルポリノミアル（実多項式）たちに分解される。
