セット（集合）のイクイバレンスリレーション（同値関係）によるイクイバレンスリレーション（同値）クラスたちのセット（集合）の定義
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）上のイクイバレンスリレーション（同値関係）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、セット（集合）のイクイバレンスリレーション（同値関係）によるイクイバレンスリレーション（同値）クラスたちのセット（集合）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( S\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\( R\): \(\in \{S \text{ 上の全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)
\(*S / R\): \(\subseteq Pow (S)\), \(= \{S_s = \{s' \in S \vert s R s'\} \subseteq S \vert s \in S\}\)
//
コンディションたち:
//
2: 注
それは、\(S / R\)が\(\vert S \vert\)要素たちを持つことを意味しない、なぜなら、\(S_{s_1}\)は\(S_{s_2}\)に等しいかもしれない。
\(S / R\)は\(S\)のあるディビジョン（分割）である、それが意味するのは、\(S / R\)は\(S\)をカバーし、\(S / R\)の全ての要素たちはディスジョイント（互いに素）であること、を見よう。
各\(s \in S\)に対して、\(s \in S_s\)、したがって、\(S / R\)は\(S\)をカバーする。
\(S / R\)の全ての要素たちはディスジョイント（互いに素）であることを見よう。
\(S_{s_1}, S_{s_2} \in S / R\)を、\(S_{s_1} \neq S_{s_2}\)を満たす任意のものたちとしよう。
もしも、\(S_{s_1} \cap S_{s_2} \neq \emptyset\)であった場合、ある\(s \in S_{s_1} \cap S_{s_2}\)があることになり、各\(s' \in S_{s_2}\)に対して、\(s_1 R s\)、なぜなら、\(s \in S_{s_1}\)、\(s R s_2\)、なぜなら、\(s \in S_{s_2}\)、\(s_2 R s'\)、なぜなら、\(s' \in S_{s_2}\)、したがって、\(s_1 R s'\)、それが意味することになるのは、\(s' \in S_{s_1}\)、したがって、\(S_{s_2} \subseteq S_{s_1}\)、そして、\(S_{s_1} \subseteq S_{s_2}\)、対称性により、したがって、\(S_{s_1} = S_{s_2}\)、矛盾、したがって、\(S_{s_1} \cap S_{s_2} = \emptyset\)。
したがって、\(S / R\)の全ての要素たちはディスジョイント（互いに素）である。
したがって、\(S / R\)は\(S\)のあるディビジョン（分割）である。
