トポロジカルスペース（空間）およびコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちのセット（集合に対して、もしも、サブスペース（部分空間）たちの各ペアがディスジョイント（互いに素）でない場合、サブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）はコネクテッド（連結された）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちの任意のセット（集合に対して、もしも、当該サブスペース（部分空間）たちの各ペアがディスジョイント（互いに素）でない場合、当該サブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）はコネクテッド（連結された）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{T_j \in \{T \text{ の全てのコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\} \vert j \in J\}\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall j_1, j_2 \in J (T_{j_1} \cap T_{j_2}) \neq \emptyset\)
\(\implies\)
\(\cup_{j \in J} T_j \in \{T \text{ の全てのコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\cup_{j \in J} T_j\)はコネクテッド（連結された）でなかったと仮定し、ある矛盾を見つける。
ステップ1:
\(\cup_{j \in J} T_j\)はコネクテッド（連結された）でなかったと仮定しよう。
以下を満たす何らかの非空オープンサブセット（開部分集合）たち\(U_1, U_2 \subseteq \cup_{j \in J} T_j\)、つまり、\(\cup_{j \in J} T_j = U_1 \cup U_2\)および\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)、があることになる。
\(U_1 = U'_1 \cap (\cup_{j \in J} T_j)\)および\(U_2 = U'_2 \cap (\cup_{j \in J} T_j)\)、ここで、\(U'_1, U'_2 \subseteq T\)は\(T\)の何らかのオープンサブセット（開部分集合）たちであった、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。
各\(j \in J\)に対して、\(T_j \subseteq \cup_{j \in J} T_j = U_1 \cup U_2 \subseteq U'_1 \cup U'_2\)。
したがって、\(T_j = T_j \cap (U'_1 \cup U'_2) = (T_j \cap U'_1) \cup (T_j \cap U'_2)\)、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。
しかし、\((T_j \cap U'_1) \cap (T_j \cap U'_2) \subseteq (U'_1 \cap (\cup_{j \in J} T_j)) \cap (U'_2 \cap (\cup_{j \in J} T_j)) = U_1 \cap U_2 = \emptyset\)、ここで、\(T_j \cap U'_1\)および\(T_j \cap U'_2\)は\(T_j\)の何らかのオープンサブセット（開部分集合）たち。
\(T_j\)はコネクテッド（連結された）であったから、\(T_j \cap U'_2 = \emptyset\)または\(T_j \cap U'_1 = \emptyset\)、したがって、\(T_j = T_j \cap U'_1\)または\(T_j = T_j \cap U'_2\)、それに応じて。
以下を満たすある\(j_1 \in J\)、つまり、\(T_{j_1} = T_{j_1} \cap U'_1\)、があることになる、なぜなら、そうでなければ、\(U_1 = U'_1 \cap (\cup_{j \in J} T_j) = \cup_{j \in J} (U'_1 \cap T_j)\)、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、\(= \cup_{j \in J} \emptyset = \emptyset\)、矛盾。
同様に、以下を満たすある\(j_2 \in J\)、つまり、\(T_{j_2} = T_{j_2} \cap U'_2\)、があることになる。
当該仮定によって、ある\(t \in T_{j_1} \cap T_{j_2} = (T_{j_1} \cap U'_1) \cap (T_{j_2} \cap U'_2)\)があることになる、しかし、\(T_{j_1} \cap U'_1 \subseteq U'_1 \cap (\cup_{j \in J} T_j) = U_1\)および\(T_{j_2} \cap U'_2 \subseteq U'_2 \cap (\cup_{j \in J} T_j) = U_2\)、したがって、\(t \in (T_{j_1} \cap U'_1) \cap (T_{j_2} \cap U'_2) \subseteq U_1 \cap U_2\)、\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)に反する矛盾。
したがって、\(\cup_{j \in J} T_j\)はコネクテッド（連結された）である。
