プロダクトセット（集合）に対して、構成要素セット（集合）たちのサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）たちのプロダクトはサブセット（部分集合）たちのプロダクトたちのユニオン（和集合）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロダクトセット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のプロダクトセット（集合）および各構成要素セット（集合）のサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）に対して、当該構成要素セット（集合）たちのサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）たちのプロダクトは当該サブセット（部分集合）たちのプロダクトたちのユニオン（和集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{S_j \in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\} \vert j \in J\}\):
\(\times_{j \in J} S_j\): \(= \text{ 当該プロダクトセット（集合） }\)
\(\{L_j \in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\} \vert j \in J\}\):
\(\{S_{j, l_j} \subseteq S_j \vert j \in J, l_j \in L_j\}\):
\(\times_{j \in J} L_j\): \(= \text{ 当該プロダクトセット（集合） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\times_{j \in J} \cup_{l_j \in L_j} S_{j, l_j} = \cup_{f \in \times_{j \in J} L_j} \times_{j \in J} S_{j, f (j)}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\times_{j \in J} \cup_{l_j \in L_j} S_{j, l_j} \subseteq \cup_{f \in \times_{j \in J} L_j} \times_{j \in J} S_{j, f (j)}\)であることを見る; ステップ2: \(\cup_{f \in \times_{j \in J} L_j} \times_{j \in J} S_{j, f (j)} \subseteq \times_{j \in J} \cup_{l_j \in L_j} S_{j, l_j}\)であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ0:
任意のプロダクトセット（集合）\(\times_{j \in J} S_j\)および任意の\(s \in \times_{j \in J} S_j\)に対して、\(s^j = s (j)\)は、当該要素の\(j\)-コンポーネントを表わすとしよう。
ステップ1:
\(s \in \times_{j \in J} \cup_{l_j \in L_j} S_{j, l_j}\)を任意のものとしよう。
各\(j \in J\)に対して、\(s^j \in \cup_{l_j \in L_j} S_{j, l_j}\)、したがって、\(s^j \in S_{j, l_j}\)、ある\(l_j \in L_j\)に対して。
以下を満たすある\(f \in \times_{j \in J} L_j\)、つまり、\(f (j) = l_j\)、各\(j \in J\)に対して、がある。
\(s \in \times_{j \in J} S_{j, f (j)}\)。
したがって、\(s \in \cup_{f \in \times_{j \in J} L_j} \times_{j \in J} S_{j, f (j)}\)。
したがって、\(\times_{j \in J} \cup_{l_j \in L_j} S_{j, l_j} \subseteq \cup_{f \in \times_{j \in J} L_j} \times_{j \in J} S_{j, f (j)}\)。
ステップ2:
\(s \in \cup_{f \in \times_{j \in J} L_j} \times_{j \in J} S_{j, f (j)}\)を任意のものとしよう。
\(s \in \times_{j \in J} S_{j, f (j)}\)、ある\(f \in \times_{j \in J} L_j\)に対して。
各\(j \in J\)に対して、\(s^j \in S_{j, f (j)}\)。
\(f (j) \in L_j\)であるから、\(s^j \in \cup_{l_j \in L_j} S_{j, l_j}\)。
したがって、\(s \in \times_{j \in J} \cup_{l_j \in L_j} S_{j, l_j}\)。
したがって、\(\cup_{f \in \times_{j \in J} L_j} \times_{j \in J} S_{j, f (j)} \subseteq \times_{j \in J} \cup_{l_j \in L_j} S_{j, l_j}\)。
ステップ3:
したがって、\(\times_{j \in J} \cup_{l_j \in L_j} S_{j, l_j} = \cup_{f \in \times_{j \in J} L_j} \times_{j \in J} S_{j, f (j)}\)。
