オープンマップ（開写像）たちのコンポジション（合成）はオープン（開）である、もしも、構成要素マップ（写像）たちのコドメイン（余域）たちが引き続くマップ（写像）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、オープンマップ（開写像）の定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）たちのコンポジション（合成）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のオープンマップ（開写像）たちのコンポジション（合成）はオープン（開）である、もしも、当該構成要素マップ（写像）たちのコドメイン（余域）たちが引き続くマップ（写像）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\{T'_1, ..., T'_n\}\): \(\subseteq \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\{T_2, ..., T_{n + 1}\}\): \(\subseteq \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\), such that \(\forall j \in \{2, ..., n\} (T_j = T'_j)\)
\(\{f_1, ..., f_n\}\): \(f_j: T'_j \to T_{j + 1}\), \(\in \{\text{ 全てのオープンマップ（開写像）たち }\}\)
\(f_n \circ ... \circ f_1\): \(T'_1 \to T_{n + 1}\), \(= \text{ 当該コンポジション（合成） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f_n \circ ... \circ f_1 \in \{\text{ 全てのオープンマップ（開写像）たち }\}\)
//
2: 注
\(T_j = T'_j\)というコンディションが、本命題のためには必要である、'コンポジション（合成）'一般は、\(T_j \subseteq T'_j\)のみを要求するところ。
例えば、\(T'_1 = \mathbb{R}\)、\(T'_2 = \mathbb{R}^2\)、\(T_2 = \mathbb{R} \times \{0\}\)、\(T_3 = \mathbb{R}^2\)、当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちとして（厳密に言うと、\(T_2\)はユークリディアン\(\mathbb{R}\)と\(\{0\}\)のプロダクトである）、および\(f_1: T'_1 \to T_2, t \mapsto (t, 0)\)および\(f_2: T'_2 \to T_3 = id\)としよう、すると、\(f_1\)および\(f_2\)はオープン（開）である、しかし、\(f_2 \circ f_1: T'_1 \to T_3\)はオープン（開）でない、なぜなら、オープン（開）\((-1, 1) \subseteq T'_1\)に対して、\(f_2 \circ f_1 ((-1, 1)) = (-1, 1) \times \{0\} \subseteq T_3\)はオープン（開）でない。
3: 証明
全体戦略: それをインダクティブ（帰納的）に証明する; ステップ1: \(n = 2\)と仮定し、それを証明する; ステップ2: 本命題は\(n \in \{2, ..., n' - 1\}\)に対して成立すると仮定し、\(n = n'\)と仮定し、それを証明する; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(n = 2\)であると仮定しよう。
\(U \subseteq T'_1\)を任意のオープンサブセット（開部分集合）としよう。
\(f_1 (U) \subseteq T_2\)はオープン（開）である、なぜなら、\(f_1\)はオープン（開）である。
\(f_1 (U)\)は\(T'_2\)上にてオープン（開）である、なぜなら、\(T'_2 = T_2\)。
\(f_2 \circ f_1 (U) = f_2 (f_1 (U)) \subseteq T_3\)はオープン（開）である、なぜなら、\(f_2\)はオープン（開）である。
したがって、\(f_2 \circ f_1\)はオープン（開）である。
ステップ2:
本命題は\(n \in \{2, ..., n' - 1\}\)、ここで、\(3 \le n'\)、に対して成立すると仮定しよう。
\(n = n'\)と仮定しよう。
\(f_n \circ ... \circ f_1 = f_n \circ (f_{n - 1} \circ ... \circ f_1)\)。
\(f_{n - 1} \circ ... \circ f_1\)はオープン（開）である、当該インダクション（帰納法）仮説によって。
\(f_n: T'_n \to T_{n + 1}\)および\(f_{n - 1} \circ ... \circ f_1: T'_1 \to T_n\)、ここで、\(T_n = T'_n\)、したがって、本命題の\(n = 2\)ケースが適用される、そして、\(f_n \circ ... \circ f_1\)はオープン（開）である。
ステップ3:
当該インダクションプリンシプル（帰納法）によって、本命題は、各\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して成立する。
