アンカウンタブル（不可算）数のポジティブ（正）リアルナンバー（実数）たちの合計はインフィニティ（無限）であることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、アンカウンタブル（不可算）数の非ネガティブ（負）リアルナンバー（実数）たちの合計の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のアンカウンタブル（不可算）数のポジティブ（正）リアルナンバー（実数）たちの合計はインフィニティ（無限）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\( \mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間） }\)で、カノニカル（正典）リニアオーダリング（線形順序）を持つもの
\(\{r_j \in (0, \infty) \subseteq \mathbb{R} \vert j \in J\}\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(\sum_{j \in J} r_j = \infty\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(M \in \mathbb{R}\)に対して、以下を満たすあるカウンタブル（可算）サブセット（部分集合）\(J^` \subseteq J\)、つまり、\(M \lt \sum_{j \in J^`} r_j\)、があることを見る。.
ステップ1:
\(\sum_{j \in J} r_j = \infty\)が意味するのは、\(\{\sum_{j \in J^`} r_j \vert J^` \in \{ J \text{ の全てのカウンタブル（可算）サブセット（部分集合）たち }\}\}\) in \(\mathbb{R}\)のサプリマム（上限）は無いこと、それは、口語的には、"当該サプリマム（上限）は\(\infty\)である"と表現される。
それが厳密に意味することは、各\(M \in \mathbb{R}\)に対して、以下を満たすあるカウンタブル（可算）サブセット（部分集合）\(J^` \subseteq J\)、つまり、\(M \lt \sum_{j \in J^`} r_j\)、があること。
\(M \in \mathbb{R}\)を任意のものとしよう。
各\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(J_n := \{j \in J \vert 1 / n \lt r_j\}\)を取ろう。
\(J_n\)はファイナイト（有限）であるかもしれないしインフィニット（無限）であるかもしれない。
\(J_n\)は、各\(n\)に対してファイナイト（有限）ではあり得ないことを見よう。
\(J = \cup_{n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} J_n\)、なぜなら、各\(j \in J\)に対して、\(1 / n \lt r_j\)、ある\(n\)に対して、したがって、\(j \in J_n\)、したがって、\(J \subseteq \cup_{n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} J_n\)、その一方で、\(\cup_{n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} J_n \subseteq J\)は明らかである。
もしも、\(J_n\)が各\(n\)に対してファイナイト（有限）であったら、\(J\)はカウンタブル（可算）であることになる、ファイナイト（有限）セット（集合）たちのカウンタブル（可算）ユニオン（和集合）として、矛盾、したがって、少なくとも\(1\)個のインフィニット（無限）\(J_n\)がある。
\(J_n\)がインフィニット（無限）であると仮定しよう。
\(J_n\)がアンカウンタブル（不可算）である時、そのあるインフィニット（無限）カウンタブル（可算）サブセット（部分集合）がある、再び、\(J_n\)と表記して。
\(\vert J_n \vert / n = \sum_{j \in J_n} 1 / n \lt \sum_{j \in J_n} r_j\)。
しかし、左辺は発散する、したがって、右辺は発散する、したがって、\(M \lt \sum_{j \in J_n} r_j\)。
したがって、以下を満たすある\(J^` := J_n\)、つまり、\(M \lt \sum_{j \in J^`} r_j\)、がある。
したがって、\(\sum_{j \in J} r_j = \infty\)。
