\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の\(2\)個のコンバージェント（収束する）シーケンス（列）たちで同一ドメイン（定義域）を持つものたちに対して、シーケンス（列）で要素たちを対応する要素たちのプロダクト（積）たちとして持つものは、コンバージェンス（収束ポイント）たちのプロダクト（積）を持ってコンバージ（収束）することの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のシーケンス（列）のコンバージェンス（収束点）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意の\(2\)個のコンバージェント（収束する）シーケンス（列）たちで任意の同一ドメイン（定義域）を持つものたちに対して、シーケンス（列）で当該要素たちを対応する要素たちのプロダクト（積）たちとして持つものは、当該コンバージェンス（収束ポイント）たちのプロダクト（積）を持ってコンバージ（収束）するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\subseteq \mathbb{N}\)
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間） }\)
\(s_1\): \(: J \to \mathbb{R}\)で、\(lim s_1 = r_1 \in \mathbb{R}\)を満たすもの
\(s_2\): \(: J \to \mathbb{R}\)で、\(lim s_2 = r_2 \in \mathbb{R}\)を満たすもの
\(s_1 s_2\): \(: J \to \mathbb{R}, j \mapsto s_1 (j) s_2 (j)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(lim s_1 s_2 = r_1 r_2 \in \mathbb{R}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(J\)がファイナイト（有限）であるケースに対処し、それ以降は、そうでないと仮定する; ステップ2: 以下を満たすある\(0 \lt M_1\)、つまり、\(\vert s_1 (n) \vert \le M_1\)、を取る; ステップ3: \(u_n := r_2 - s_2 (n)\)および以下を満たすある\(N_2\)、つまり、各\(N_2 \lt n\)に対して、\(\vert u_n \vert \lt \epsilon / (2 M_1)\)、を取り、もしも、\(r_2 \neq 0\)である場合、以下を満たすある\(N_1\)、つまり、各\(N_1 \lt n\)に対して、\(\vert r_1 - s_1 (n) \vert \lt \epsilon / (2 \vert r_2 \vert)\)、を取る; ステップ4: 各\(N_1, N_2 \lt n\)に対して、\(\vert r_1 r_2 - s_1 s_2 (n) \vert \lt \epsilon\)であることを見る。
ステップ1:
\(\vert J \vert = n\)である時は、それは成立する、なぜなら、\(lim s_1 s_2 = (s_1 s_2) (J_n) = s_1 (J_n) s_2 (J_n) = lim s_1 lim s_2 = r_1 r_2\)。
これ以降はそうでないと仮定しよう。
ステップ2:
以下を満たすある\(M_1 \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt M_1\)および各\(j \in J\)に対して、\(\vert s_1 (j) \vert \le M_1\)、があることを見よう。
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
以下を満たすある\(N \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、つまり、\(N \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(\vert r_1 - s_1 (J_n) \vert \lt \epsilon\)、がある。
したがって、\(N \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(\vert s_1 (J_n) \vert = \vert s_1 (J_n) - r_1 + r_1 \vert \le \vert s_1 (J_n) - r_1 \vert + \vert r_1 \vert \lt \epsilon + \vert r_1 \vert\)。
\(M_1 := Max (\{\vert s_1 (J_n) \vert \vert n \in \{1, ..., N\}\} \cup \{\epsilon + \vert r_1 \vert\})\)を取ろう。
すると、\(n \le N\)を満たす各\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(\vert s_1 (J_n) \vert \le M_1\)、そして、\(N \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(\vert s_1 (J_n) \vert \lt \epsilon + \vert r_1 \vert \le M_1\)。
したがって、各\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(\vert s_1 (J_n) \vert \le M_1\)。
\(M_1 = 0\)である時は、任意のポジティブ（正）\(M_1\)を取ろう、それは、まだ、\(\vert s_1 (J_n) \vert \le M_1\)を満たす。
ステップ3:
各\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(u_n := r_2 - s_2 (J_n)\)を取ろう。
以下を満たすある\(N_2 \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、つまり、\(N_2 \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(\vert u_n \vert = \vert r_2 - s_2 (J_n) \vert \lt \epsilon / (2 M_1)\)、がある。
もしも、\(r_2 = 0\)である場合、\(N_1 = N_2\)を取ろう。
もしも、\(r_2 \neq 0\)である場合、以下を満たすある\(N_1 \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、つまり、\(N_1 \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(\vert r_1 - s_1 (n) \vert \lt \epsilon / (2 \vert r_2 \vert)\)、がある。
ステップ4:
\(N_1, N_2 \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(\vert r_1 r_2 - s_1 s_2 (J_n) \vert = \vert r_1 r_2 - s_1 (J_n) s_2 (J_n) \vert = \vert r_1 r_2 - s_1 (J_n) (r_2 - u_n) \vert = \vert r_2 (r_1 - s_1 (J_n)) + s_1 (J_n) u_n \vert \le \vert r_2 (r_1 - s_1 (J_n)) \vert + \vert s_1 (J_n) u_n \vert = \vert r_2 \vert \vert r_1 - s_1 (J_n) \vert + \vert s_1 (J_n) \vert \vert u_n \vert \lt \vert r_2 \vert \vert r_1 - s_1 (J_n) \vert + M_1 \epsilon / (2 M_1) = \vert r_2 \vert \vert r_1 - s_1 (J_n) \vert + \epsilon / 2\)。
もしも、\(r_2 = 0\)である場合、\(= 0 \vert r_1 - s_1 (J_n) \vert + \epsilon / 2 = \epsilon / 2 \lt \epsilon\)。
もしも、\(r_2 \neq 0\)である場合、\(\lt \vert r_2 \vert \epsilon / (2 \vert r_2 \vert) + \epsilon / 2 = \epsilon / 2 + \epsilon / 2 = \epsilon\)。
したがって、いずれにせよ、\(\vert r_1 r_2 - s_1 s_2 (J_n) \vert \lt \epsilon\)。
それが意味するのは、\(lim s_1 s_2 = r_1 r_2 \in \mathbb{R}\)。
