\(2\)個の異なる非負リアルナンバー（実数）たちおよび\(1\)より大きいナチュラルナンバー（自然数）に対して、第2および第3ナチュラルナンバー（自然数）たちで第3ナンバー（数）をナンバー（数）の第2ナンバー（数）乗で割ったものが厳密にリアルナンバー（実数）たち間内にあるものたちがあることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リアルナンバー（実数）たちセット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(2\)個の異なる非負リアルナンバー（実数）たちおよび\(1\)より大きい任意のナチュラルナンバー（自然数）に対して、何らかの第2および第3ナチュラルナンバー（自然数）たちで第3ナンバー（数）を当該ナンバー（数）の第2ナンバー（数）乗で割ったものが厳密に当該リアルナンバー（実数）たち間内にあるものたちがあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\{r_1, r_2\}\): \(\subseteq \mathbb{R}\)で、\(0 \le r_1, r_2 \land r_1 \lt r_2\)を満たすものたち
\(n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0, 1\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists m, j \in \mathbb{N} (r_1 \lt j / n^m \lt r_2)\)
//
2: 注
\(n \lt 1\)が要求される、なぜなら、もしも、\(n = 1\)であったら、\(n^m = 1\)、いかなる\(m\)に対しても、そして、\(j / n^m = j / 1 = j\)は、\(r_1, r_2 \lt 1\)に対して\(r_1 \lt j / n^m \lt r_2\)を満たすことができない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 以下を満たすある\(m\)、つまり、\(1 \lt n^m (r_2 - r_1)\)、を取り、以下を満たすある\(j\)、つまり、\(n^m r_1 \lt j \lt n^m r_2\)、を取る。
ステップ1:
\(0 \lt r_2 - r_1\)であり\(n^m\)はある大きい\(m\)を選ぶことによっていくらでも大きくできる（なぜなら、\(1 \lt n\)）から、以下を満たすある\(m \in \mathbb{N}\)、つまり、\(1 \lt n^m (r_2 - r_1) = n^m r_2 - n^m r_1\)、を選ぼう。
以下を満たすある\(j \in \mathbb{N}\)、つまり、\(n^m r_1 \lt j \lt n^m r_2\)、がある: \(n^m r_1\)があるナチュラルナンバー（自然数）である時は、\(j := n^m r_1 + 1 \lt n^m r_2\)で良い; そうでない時は、\(j\)は、\(n^m r_1\)より大きい最小ナチュラルナンバー（自然数）に取れる、すると、\(j \lt n^m r_2\)。
すると、\(r_1 \lt j / n^m \lt r_2\)。
