\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）に対して、アッパーバウンデッド（上方有界）オープンインターバル（開区間）たちおよびローワーバウンデッド（下方有界）オープンインターバル（開区間）たちのセット（集合）はサブベーシス（基底）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブベーシス（基底）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）に対して、全てのアッパーバウンデッド（上方有界）オープンインターバル（開区間）たちおよび全てのローワーバウンデッド（下方有界）オープンインターバル（開区間）たちのセット（集合）はあるサブベーシス（基底）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(S\): \(= \{(- \infty, r) \subseteq \mathbb{R} \vert r \in \mathbb{R}\} \cup \{(r, \infty) \subseteq \mathbb{R} \vert r \in \mathbb{R}\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S \in \{\mathbb{R} \text{ に対する全てのサブベーシス（基底）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S\)は、あるサブベーシス（基底）であるためのコンディションたちを満たすことを見る。
ステップ1:
\(S\)の各ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）はオープン（開）である、オープンサブセット（開部分集合）たちのあるファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）として。
\(r \in \mathbb{R}\)を任意のものとしよう。
\(N_r \subseteq \mathbb{R}\)を\(r\)の任意のネイバーフッド（近傍）としよう。
以下を満たすある\(B_{r, \epsilon} \subseteq \mathbb{R}\)、つまり、\(r \in B_{r, \epsilon} \subseteq N_r\)、がある。
\(B_{r, \epsilon} = (- \infty, r + \epsilon) \cap (r - \epsilon, \infty)\)。
したがって、\(r \in (- \infty, r + \epsilon) \cap (r - \epsilon, \infty) \subseteq N_r\)。
したがって、\(S\)の全てのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）たちのセット（集合）は\(\mathbb{R}\)に対するあるベーシス（基底）である。
したがって、\(S\)は\(\mathbb{R}\)に対するあるサブベーシス（基底）である。
