セカンドカウンタブル（可算）コンプリート（完全）にレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）はメトライザブル（計量付加可能）である（ユリソーンメトライザブル（計量付加可能）定理）ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンプリート（完全）にレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、メトライザブル（計量付加可能）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）の定義を知っている。
- 読者は、任意のセカンドカウンタブル（可算）コンプリート（完全）にレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）に対して、クローズドユニットインターバル（閉単位空間）の中への何らかのコンティニュアスマップ（連続写像）たちのカウンタブル（可算）セット（集合）で、各ポイントおよび当該ポイントを包含しない各クローズドサブセット（閉部分集合）に対して、当該セット（集合）のある要素で、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）上方で(0\)であり当該クローズドサブセット（閉部分集合）上方で\(1\)であるものがある、があるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、各コンポーネントマップ（写像）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のディスジョイント（互いに素）なサブセット（部分集合）とオープンセット（開集合）に対して、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）とオープンセット（開集合）はディスジョイント（互いに素）であるという命題を認めている。
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）たちでインデュースト（誘導された）トポロジーたちを持つものたちの任意のシーケンス（列）に対して、当該プロダクトセット（集合）に対するこのメトリック（計量）は当該プロダクトトポロジーをインデュース（誘導）するという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）で任意のメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）なもの、任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）をトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたものは、当該サブセット（部分集合）をメトリックサブスペース（計量部分空間）によってインデュースト（誘導された）なトポロジカルスペース（空間）とみなしたものに等しいという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。
- 読者は、任意のクローズド（閉）コンティニュアス（連続）バイジェクション（全単射）はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものからの任意のホメオモーフィズム（位相同形写像）に対して、当該コドメイン（余域）トポロジーは当該ホメオモーフィズム（位相同形写像）によってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセカンドカウンタブル（可算）コンプリート（完全）にレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）はメトライザブル（計量付加可能）である（ユリソーンメトライザブル（計量付加可能）定理）という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）たち }\} \cap \{\text{ 全てのコンプリート（完全）にレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのメトライザブル（計量付加可能）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: クローズドユニットインターバル（閉単位空間）の中への何らかのコンティニュアスマップ（連続写像）たちのあるカウンタブル（可算）セット（集合）で、各ポイントおよび当該ポイントを包含しない各クローズドサブセット（閉部分集合）に対して、当該セット（集合）のある要素で、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）上方で(0\)であり当該クローズドサブセット（閉部分集合）上方で\(1\)であるものがある\(\{f_j \vert j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\}\)を取る; ステップ2: \(f: T \to \times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} [0, 1], t \mapsto \times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} f_j (t)\)を定義し、\(f\)はあるコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である一方、\(f (T) \subseteq \times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} [0, 1]\)、当該トポロジカルスペース（空間）として、は、\(\times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} [0, 1]\)上のプロダクトトポロジーをインデュース（誘導）するあるメトリック（計量）のサブメトリック（部分計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つこと、を見る; ステップ3: \(T\)は、当該ホメオモーフィズム（位相同形写像）によって当該サブメトリック（部分計量）からインデュースト（誘導された）メトリック（計量）にインデュースト（誘導された）であることを見る。
ステップ1:
クローズドユニットインターバル（閉単位空間）の中への何らかのコンティニュアスマップ（連続写像）たちのあるカウンタブル（可算）セット（集合）で、各ポイントおよび当該ポイントを包含しない各クローズドサブセット（閉部分集合）に対して、当該セット（集合）のある要素で、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）上方で(0\)であり当該クローズドサブセット（閉部分集合）上方で\(1\)であるものがある\(\{f_j \vert j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\}\)を取ろう、任意のセカンドカウンタブル（可算）コンプリート（完全）にレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）に対して、クローズドユニットインターバル（閉単位空間）の中への何らかのコンティニュアスマップ（連続写像）たちのカウンタブル（可算）セット（集合）で、各ポイントおよび当該ポイントを包含しない各クローズドサブセット（閉部分集合）に対して、当該セット（集合）のある要素で、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）上方で(0\)であり当該クローズドサブセット（閉部分集合）上方で\(1\)であるものがある、があるという命題によって: 当該命題内のカウンタブル（可算）インデックスセット（集合）\(J\)を\(\mathbb{N} \setminus \{0\}\)と取ることができる、なぜなら、\(J\)はインフィニット（無限）カウンタブル（可算）である時は\(\mathbb{N} \setminus \{0\}\)から\(J\)の上へのあるバイジェクション（全単射）があり、そうでない時は、\(\{f_j \vert j \in \{1, ..., n\}\}\)に追加して、各\(n \lt j\)に対して\(f_j = f_n\)とできる（実のところ、ファイナイト（有限）ケースをインフィニット（無限）にする必要はないのだが、記述たちを一様にするという私たちの便宜のために、それは行なわれる）。
ステップ2:
\([0, 1] \subseteq \mathbb{R}\)をユークリディアン\(\mathbb{R}\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）としよう。
\(\times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} [0, 1]\)を当該プロダクトトポロジカルスペース（空間）としよう。
\(f: T \to \times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} [0, 1], t \mapsto \times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} f_j (t)\)を定義しよう。
\(f\)はあるコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）であることを見よう。
\(\pi^j: \times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} [0, 1] \to [0, 1]\)を\(j\)-構成要素の上へのプロジェクション（射影）としよう。
各\(j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(\pi^j \circ f: T \to [0, 1]\)はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、それは、\(f_j\)に他ならない。
\(f\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、各コンポーネントマップ（写像）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\(f\)はインジェクティブ（単射）である、なぜなら、以下を満たす各\(t, t' \in T\)、つまり、\(t \neq t'\)、に対して、以下を満たす、\(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq T\)および\(t'\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t'} \subseteq T\)、つまり、\(U_t \cap U_{t'} = \emptyset\)、がある、すると、\(U_t \cap \overline{U_{t'}} = \emptyset\)、任意のディスジョイント（互いに素）なサブセット（部分集合）とオープンセット（開集合）に対して、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）とオープンセット（開集合）はディスジョイント（互いに素）であるという命題によって、したがって、\(t \notin \overline{U_{t'}}\)、したがって、以下を満たすある\(f_j\)、つまり、\(f_j (t) = 0\)および\(f_j (\overline{U_{t'}}) = 1\)、がある、それが含意するのは、\(f_j (t) \neq f_j (t')\)、したがって、\(f (t) \neq f (t')\)。
したがって、\(f\)のコドメイン（余域）リストリクション（制限）\(f': T \to f (T)\)はあるバイジェクション（全単射）である。
\(\times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} [0, 1]\)は、あるメトリック（計量）\(dist'\)によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つ、メトリックスペース（計量付き空間）たちでインデュースト（誘導された）トポロジーたちを持つものたちの任意のシーケンス（列）に対して、当該プロダクトセット（集合）に対するこのメトリック（計量）は当該プロダクトトポロジーをインデュース（誘導）するという命題によって。
\(f (T) \subseteq \times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} [0, 1]\)、当該トポロジカルサブスペース（部分空間）として、は\(dist'\)のサブメトリック（部分計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つ、任意のトポロジカルスペース（空間）で任意のメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）なもの、任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）をトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたものは、当該サブセット（部分集合）をメトリックサブスペース（計量部分空間）によってインデュースト（誘導された）なトポロジカルスペース（空間）とみなしたものに等しいという命題によって。
\(f'\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
\(f'\)はクローズド（閉）であることを見よう。
\(C \subseteq T\)を任意のクローズドサブセット（閉部分集合）としよう。
\(f (T) \setminus f (C) \subseteq f (T)\)はオープン（開）であることを見よう。
\(p \in f (T) \setminus f (C)\)を任意のものとしよう。
\(p = f (t)\)、ある\(t \in T \setminus C\)に対して、したがって、\(t \notin C\)。
以下を満たすある\(f_l\)、つまり、\(f_l (t) = 0\)および\(f_l (C) = \{1\}\)、がある、したがって、\(p^l = f (t)^l = f_l (t) = 0\)。
\(p^l\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_{p^l} \subseteq [0, 1]\)、つまり、\(U'_{p^l} \cap f_l (C) = \emptyset\)、がある。
\(U'_p := \times_{j \in J} U'_{p^j}\)、ここで、\(U'_{p^j} = [0, 1]\)、各\(j \in \mathbb{N} \setminus \{0, l\}\)に対して、としよう、それは、\(p\)の\(\times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} [0, 1]\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
\(U_p := U'_p \cap f (T)\)としよう、それは、\(p\)の\(f (T)\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
\(U_p \subseteq f (T) \setminus f (C)\)、なぜなら、各\(p' \in U_p\)に対して、\(p' \in f (T)\)、\(p'^l \in U'_{p^l}\)、したがって、\(p'^l \notin f_l (C)\)、したがって、\(p' \notin f (C)\)、したがって、\(p' \in f (T) \setminus f (C)\)。
したがって、オープン（開）であることのローカル基準によって、\(f (T) \setminus f (C) \subseteq f (T)\)はオープン（開）である、したがって、\(f (C) \subseteq f (T)\)はクローズド（閉）である。
したがって、\(f'\)はクローズド（閉）である。
したがって、\(f'\)はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）である、任意のクローズド（閉）コンティニュアス（連続）バイジェクション（全単射）はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）であるという命題によって。
ステップ3:
\(f (T)\)は\(dist'\)の当該サブメトリック（部分計量）によってインデュースト（誘導された）であるから、\(T\)は\(f'\)によって当該サブメトリック（部分計量）からインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）である、任意のメトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものからの任意のホメオモーフィズム（位相同形写像）に対して、当該コドメイン（余域）トポロジーは当該ホメオモーフィズム（位相同形写像）によってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）であるという命題によって。
したがって、\(T\)はメトライザブル（計量付加可能）である。
