\(2\)個のセット（集合）たちに対して、セット（集合）たちのユニオン（和集合）は、第1セット（集合）マイナスセット（集合）たちのインターセクション（共通集合）、第2セット（集合）マイナスセット（集合）たちのインターセクション（共通集合）、セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）の排他的ユニオン（和集合）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(2\)個の任意のセット（集合）たちに対して、当該セット（集合）たちのユニオン（和集合）は、第1セット（集合）マイナス当該セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）、第2セット（集合）マイナス当該セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）、当該セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）の排他的ユニオン（和集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S_1\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S_2\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S_1 \cup S_2 = (S_1 \setminus (S_1 \cap S_2)) \cup (S_2 \setminus (S_1 \cap S_2)) \cup (S_1 \cap S_2)\)
\(\land\)
\(\{S_1 \setminus (S_1 \cap S_2), S_2 \setminus (S_1 \cap S_2), S_1 \cap S_2\} \in \{\text{ 全ての、セット（集合）たちのディスジョイント（互いに素）セット（集合）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S_1 \cup S_2 = (S_1 \setminus (S_1 \cap S_2)) \cup (S_2 \setminus (S_1 \cap S_2)) \cup (S_1 \cap S_2)\)であることを見る; ステップ2: \(\{S_1 \setminus (S_1 \cap S_2), S_2 \setminus (S_1 \cap S_2), S_1 \cap S_2\}\)はディスジョイント（互いに素）であることを見る。
ステップ1:
\(S_1 \cup S_2 = (S_1 \setminus (S_1 \cap S_2)) \cup (S_2 \setminus (S_1 \cap S_2)) \cup (S_1 \cap S_2)\)であることを見よう。
各\(s \in S_1 \cup S_2\)に対して、\(s \in S_1\)または\(s \in S_2\)である; \(s \in S_1\)である時、\(s \in S_2\)である時は、\(s \in S_1 \cap S_2\)、そうでない時は、\(s \in S_1 \setminus (S_1 \cap S_2)\)、したがって、いずれにせよ、\(s \in (S_1 \setminus (S_1 \cap S_2)) \cup (S_2 \setminus (S_1 \cap S_2)) \cup (S_1 \cap S_2)\); \(s \in S_2\)である時、\(s \in (S_1 \setminus (S_1 \cap S_2)) \cup (S_2 \setminus (S_1 \cap S_2)) \cup (S_1 \cap S_2)\)、対称性により; したがって、いずれにせよ、\(s \in (S_1 \setminus (S_1 \cap S_2)) \cup (S_2 \setminus (S_1 \cap S_2)) \cup (S_1 \cap S_2)\)。
したがって、\(S_1 \cup S_2 \subseteq (S_1 \setminus (S_1 \cap S_2)) \cup (S_2 \setminus (S_1 \cap S_2)) \cup (S_1 \cap S_2)\)。
各\(s \in (S_1 \setminus (S_1 \cap S_2)) \cup (S_2 \setminus (S_1 \cap S_2)) \cup (S_1 \cap S_2)\)に対して、\(s \in S_1 \setminus (S_1 \cap S_2)\)、\(s \in S_2 \setminus (S_1 \cap S_2)\)、または、\(s \in S_1 \cap S_2\); \(s \in S_1 \setminus (S_1 \cap S_2)\)である時、\(s \in S_1\)、したがって、\(s \in S_1 \cup S_2\); \(s \in S_2 \setminus (S_1 \cap S_2)\)である時、\(s \in S_1 \cup S_2\)、対称性により; \(s \in S_1 \cap S_2\)である時、\(s \in S_1\)、したがって、\(s \in S_1 \cup S_2\); したがって、いずれにせよ、\(s \in S_1 \cup S_2\)。
したがって、\((S_1 \setminus (S_1 \cap S_2)) \cup (S_2 \setminus (S_1 \cap S_2)) \cup (S_1 \cap S_2) \subseteq S_1 \cup S_2\)。
したがって、\(S_1 \cup S_2 = (S_1 \setminus (S_1 \cap S_2)) \cup (S_2 \setminus (S_1 \cap S_2)) \cup (S_1 \cap S_2)\)。
ステップ2:
\(\{S_1 \setminus (S_1 \cap S_2), S_2 \setminus (S_1 \cap S_2), S_1 \cap S_2\}\)はディスジョイント（互いに素）であることを見よう。
各\(s \in S_1 \setminus (S_1 \cap S_2)\)に対して、\(s \notin S_2\)、なぜなら、そうでなければ、\(s \in S_1 \cap S_2\)、そして、\(s \notin S_1 \setminus (S_1 \cap S_2)\)、矛盾、したがって、\(s \notin S_2 \setminus (S_1 \cap S_2)\)および\(s \notin S_1 \cap S_2\)。
各\(s \in S_2 \setminus (S_1 \cap S_2)\)に対して、\(s \notin S_1 \setminus (S_1 \cap S_2)\)および\(s \notin S_1 \cap S_2\)、対称性により。
各\(s \in S_1 \cap S_2\)に対して、\(s \notin S_1 \setminus (S_1 \cap S_2)\)および\(s \notin S_2 \setminus (S_1 \cap S_2)\)。
したがって、\(\{S_1 \setminus (S_1 \cap S_2), S_2 \setminus (S_1 \cap S_2), S_1 \cap S_2\}\)はディスジョイント（互いに素）である。
