インデックス付けされたセット（集合）の定義
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、インデックス付けされたセット（集合）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\( S\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(*\{s_j \in S\}_{j \in J}\): \(\in \{J \text{ から } S \text{ の中への全てのセット（集合）たち }\}\)
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コンディションたち:
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2: 注
'インデックス付けされたセット（集合）'は、本当のところ、あるマップ（写像）\(f: J \to S\)であり、\(s_j\)は、本当のところ、\(f (j)\)である。
'インデックス付けされたセット（集合）'は、'セット（集合）'と以下の点において異なる、つまり、任意のセット（集合）は、要素たち内に重複を持たないが、その一方、何らかの\(j \neq l\)に対して、\(s_j = s_l\)が可能である: \(f\)はインジェクティブ（単射）である必要はない。
あるセット（集合）でインデックスを付けられたもの、は、インデックス付けされたセット（集合）ではない: \(\{s_j \vert j \in J\}\)は、あるセット（集合）でインデックス付けられたものであり、それは、インデックス付けされたセット（集合）\(\{s_j\}_{j \in J}\)とは異なる: \(\{s_j \vert j \in J\}\)はあるセット（集合）で、当該要素たちがたまたま当該インデックスで区別されている、というものである; 例えば、あるカウンタブル（可算）セット（集合）の要素たちは、\(\{s_j \vert j \in \mathbb{N}\} = \{s_1, s_2, ...\}\)のように区別されているかもしれない、それはインデックス付けされたセット（集合）ではない、その一方、あるシーケンス（列）\(\{s_j\}_{j \in \mathbb{N}}\)は、本当に、あるインデックス付けされたセット（集合）である。
時折、"インデックス付けされたファミリー" のような用語が使われる、しかし、\(\{s_j \in S\}_{j \in J}\)があるマップ（写像）である限り、それは、本当に、あるセット（集合）である、なぜなら、任意のマップ（写像）はあるセット（集合）である、したがって、"セット（集合）"という用語を避ける必要はない。
\(J\)があるセット（集合）であり、各\(j\)に対して\(s_j\)を決定するあるフォーミュラがある限り、\(S\)はあるセット（集合）として存在する、リプレイスメント（置換）公理によって、そして、\(\{s_j \in S\}_{j \in J}\)は、本当に、あるマップ（写像）である。
任意の\(j \in J\)に対して、\(f (j)\)は、"\(\{s_j \in S\}_{j \in J}\)の要素"と呼ばれる。
任意の\(J^` \subseteq J\)に対して、\(f \vert_{J^`}\)は、"iインデックス付けされたサブセット（部分集合）"と呼ばれる。
それは、実のところ、単なるあるマップ（写像）であるところ、なぜ、私たちは、新たな用語をわざわざ作りだす必要があるのか、単に"マップ（写像）"を使うのでなく？
えーと、厳密には必要があるわけではない、しかし、それは、時々、便利である、なぜなら、強調するところたちが違う: 任意のマップ（写像）の要点は、あるマッピングのルールである、その一方、任意のインデックス付けされたセット（集合）の要点は、あるマッピングのイメージ（像）たちであり、ここで、厳密なマッピングは本当の関心事ではない: 当該要素たちが、\(\{s_1, s_2, ...\}\)としてインデックス付けられているか\(\{s_0, s_1, ...\}\)としてなのかは、本当のところ重要ではない、重複たちは許されなければならないが、そして、それは、ある意味、ある"重複が許可されたセット（集合）"である。
