\(2\)個のセット（集合）たちに対して、第1セット（集合）から第2セット（集合）の中へのマップ（写像）たちは、同一である、もしも、コドメイン（余域）の各サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）たちが同一である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(2\)個の任意のセット（集合）たちに対して、第1セット（集合）から第2セット（集合）の中への任意のマップ（写像）たちは、同一である、もしも、当該コドメイン（余域）の各サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）たちが同一である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S_1\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S_2\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(f\): \(: S_1 \to S_2\)
\(f'\): \(: S_1 \to S_2\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f = f'\)
\(\iff\)
\(\forall S \subseteq S_2 (f^{-1} (S) = f'^{-1} (S))\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f = f'\)であると仮定する; ステップ2: \(\forall S \subseteq S_2 (f^{-1} (S) = f'^{-1} (S))\)であることを見る; ステップ3: \(\forall S \subseteq S_2 (f^{-1} (S) = f'^{-1} (S))\)であると仮定する; ステップ4: \(f \neq f'\)であると仮定し、矛盾を見つける。
ステップ1:
\(f = f'\)であると仮定しよう。
ステップ2:
\(\forall S \subseteq S_2 (f^{-1} (S) = f'^{-1} (S))\)は明らかである（そうでなければ、'プリイメージ（前像）'という概念は妥当に定義されていないことになる）: もっと詳しくは、\(f^{-1} (S) := \{s_1 \in S_1 \vert f (s_1) \in S\} = \{s_1 \in S_1 \vert f' (s_1) \in S\}\)、それは、\(f'^{-1} (S)\)である、定義によって: もしも、\(\{s_1 \in S_1 \vert f (s_1) \in S\}\)がある決まったセット（集合）を決定することを疑うのであれば、それは、セット（集合）理論全体の否定になる。
ステップ3:
\(\forall S \subseteq S_2 (f^{-1} (S) = f'^{-1} (S))\)であると仮定しよう。
ステップ4:
\(f \neq f'\)であったと仮定しよう。
以下を満たすある\(s_1 \in S_1\)、つまり、\(f (s_1) \neq f' (s_1)\)、があることになる。
\(S = \{f (s_1)\} \subseteq S_2\)。
\(s_1 \in f^{-1} (S)\)、なぜなら、\(f (s_1) \in S\)。
しかし、\(s_1 \notin f'^{-1} (S)\)、なぜなら、もしも、\(s_1 \in f'^{-1} (S)\)である場合、\(f' (s_1) \in S\)、それが意味するのは、\(f' (s_1) = f (s_1)\)、矛盾。
それが意味するのは、\(f^{-1} (S) \neq f'^{-1} (S)\)、矛盾。
したがって、\(f = f'\)。
