\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上のアブソリュートにコンバージェント（絶対収束する）シリーズ（級数）に対して、シリーズ（級数）たちで順序たちが変更されたものたちは、同一コンバージェンス（収束ポイント）へコンバージ（収束）することの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のシリーズ（級数）のコンバージェンス（収束ポイント）の定義を知っている。
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の任意のコンバージェント（収束する）シリーズ（級数）および任意のリアルナンバー（実数）に対して、シリーズ（級数）で項たちを対応する項たちに当該ナンバー（数字）を掛けたものたちとして持つものは、当該コンバージェンス（収束ポイント）に当該ナンバー（数字）を掛けたものを持ってコンバージ（収束）するという命題を認めている。
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）メトリックスペース（計量付き空間）上の\任意の(2\)個のコンバージェント（収束する）シリーズ（級数）たちで任意の同一ドメイン（定義域）を持つものたちに対して、シリーズ（級数）で項たちを対応する項たちの合計たちとして持つものは、当該コンバージェンス（収束ポイント）たちの合計を持ってコンバージ（収束）するという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のアブソリュートにコンバージェント（絶対収束する）シリーズ（級数）に対して、シリーズ（級数）たちで順序たちが変更されたものたちは、同一コンバージェンス（収束ポイント）へコンバージ（収束）するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\subseteq \mathbb{N}\)
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間） }\)
\(s\): \(: J \to \mathbb{R}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(\sum_{j \in J} \vert s (j) \vert = r' \in \mathbb{R}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists r \in \mathbb{R} (\forall f: J \to J \in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\} (\sum_{j \in J} s \circ f (j) = r))\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\sum_{j \in \{J_1, ..., J_n\}} \vert s \circ f (j) \vert \le r'\)および\(\sum_{j \in J} \vert s \circ f (j) = r''\)であることを見る; ステップ2: \(\sum_{j \in \{J_1, ..., J_n\}} \vert s (j) \vert \le r''\)および\(r' \le r''\)であることを見る; ステップ3: \(\sum_{j \in J} \vert s \circ f (j) \vert = r'\)であると結論する; ステップ4: \(\sum_{j \in J} s \circ f (j) = \sum_{j \in J} 1 / 2 (\vert s \circ f (j) \vert + s \circ f (j)) - \sum_{j \in J} 1 / 2 (\vert s \circ f (j) \vert - s \circ f (j)) = \sum_{j \in J} 1 / 2 (\vert s (j) \vert + s (j)) - \sum_{j \in J} 1 / 2 (\vert s (j) \vert - s (j)) = \sum_{j \in J} s (j) = r\)であることを見る。
ステップ1:
\(J\)の各先行ファイナイトサブセット（有限部分集合）\(J^` = \{J_1, ..., J_n\}\)に対して、\(J_{n'} := Max (\{f (J_1), ..., f (J_n)\})\)を取ろう、すると、\(\{f (J_1), ..., f (J_n)\} \subseteq \{J_1, ..., J_{n'}\}\)、したがって、\(\{s \circ f (J_1), ..., s \circ f (J_n)\} \subseteq \{s (J_1), ..., s (J_{n'})\}\)、したがって、\(\sum_{j \in \{J_1, ..., J_n\}} \vert s \circ f (j) \vert \le \sum_{j \in \{J_1, ..., J_{n'}\}} \vert s (j) \vert \le r'\)。
したがって、\(\sum_{j \in J} \vert s \circ f (j) \vert = r'' \le r'\)。
ステップ2:
\(f\)はバイジェククティブ（全単射）であるから、インバース（逆）\(f^{-1}: J \to J\)がある。
\(J\)の各先行ファイナイトサブセット（有限部分集合）\(J^` = \{J_1, ..., J_n\}\)に対して、\(J_{n'} := Max (\{f^{-1} (J_1), ..., f^{-1} (J_n)\})\)を取ろう、すると、\(\{J_1, ..., J_n\} \subseteq \{f (J_1), ..., f (J_{n'})\}\)、なぜなら、各\(j \in \{J_1, ..., J_n\}\)に対して、\(f^{-1} (j) \le J_{n'}\)、したがって、\(f (f^{-1} (j))\)は\(\{f (J_1), ..., f (J_{n'})\}\)内に\(f (j')\)として現われる、したがって、\(j = f (j') \in \{f (J_1), ..., f (J_{n'})\}\)、したがって、\(\{s (J_1), ..., s (J_n)\} \subseteq \{s \circ f (J_1), ..., s \circ f (J_{n'})\}\)、したがって、\(\sum_{j \in \{J_1, ..., J_n\}} \vert s (j) \vert \le \sum_{j \in \{J_1, ..., J_{n'}\}} \vert s \circ f (j) \vert \le r''\)。
したがって、\(r' \le r''\)。
ステップ3:
したがって、\(\sum_{j \in J} \vert s \circ f (j) \vert = r'' = r'\)。
ステップ4:
\(\sum_{j \in J} 1 / 2 (\vert s \circ f (j) \vert + s \circ f (j))\)のことを考えよう。
各\(j \in J\)に対して、\(0 \le 1 / 2 (\vert s \circ f (j) \vert + s \circ f (j)) \le \vert s \circ f (j) \vert\)。
したがって、\(\sum_{j \in J} 1 / 2 (\vert s \circ f (j) \vert + s \circ f (j)) = \sum_{j \in J} (1 / 2 (\vert s \vert + s)) \circ f (j) = \sum_{j \in J} (1 / 2 (\vert s \vert + s)) (j) = r_1 \in \mathbb{R}\)、\(f\)に独立に、ステップ3によって。
\(\sum_{j \in J} 1 / 2 (\vert s \circ f (j) \vert - s \circ f (j))\)のことを考えよう。
各\(j \in J\)に対して、\(0 \le 1 / 2 (\vert s \circ f (j) \vert - s \circ f (j)) \le \vert s \circ f (j) \vert\)。
したがって、\(\sum_{j \in J} 1 / 2 (\vert s \circ f (j) \vert - s \circ f (j)) = \sum_{j \in J} (1 / 2 (\vert s \vert - s)) \circ f (j) = \sum_{j \in J} (1 / 2 (\vert s \vert - s)) (j) = r_2 \in \mathbb{R}\)、\(f\)に独立して、ステップ3によって。
\(\sum_{j \in J} (1 / 2 (\vert s \circ f (j) \vert + s \circ f (j)) - 1 / 2 (\vert s \circ f (j) \vert - s \circ f (j))) = r_1 - r_2 := r\)、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の任意のコンバージェント（収束する）シリーズ（級数）および任意のリアルナンバー（実数）に対して、シリーズ（級数）で項たちを対応する項たちに当該ナンバー（数字）を掛けたものたちとして持つものは、当該コンバージェンス（収束ポイント）に当該ナンバー（数字）を掛けたものを持ってコンバージ（収束）するという命題および\(1\)-ディメンショナル（次元）メトリックスペース（計量付き空間）上の\任意の(2\)個のコンバージェント（収束する）シリーズ（級数）たちで任意の同一ドメイン（定義域）を持つものたちに対して、シリーズ（級数）で項たちを対応する項たちの合計たちとして持つものは、当該コンバージェンス（収束ポイント）たちの合計を持ってコンバージ（収束）するという命題によって。
\(= \sum_{j \in J} s \circ f (j) = r\)、\(f\)に独立して。
\(\sum_{j \in J} s (j) = r\)は、\(f = id\)である特別なケースである。
