\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上のアブソリュートにコンバージェント（絶対収束する）ダブルシリーズ（二重級数）に対して、シリーズ（級数）で合計たち順序たちが変更されたものたちは、同一コンバージェンス（収束ポイント）へコンバージ（収束）することの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のシリーズ（級数）のコンバージェンス（収束ポイント）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリアルナンバー（実数）は別の任意のリアルナンバー（実数）以下である、もしも、それは、後者プラス任意のポジティブ（正）リアルナンバー（実数）以下である場合、という命題を認めている。
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の任意のコンバージェント（収束する）シリーズ（級数）および任意のリアルナンバー（実数）に対して、シリーズ（級数）で項たちを対応する項たちに当該ナンバー（数字）を掛けたものたちとして持つものは、当該コンバージェンス（収束ポイント）に当該ナンバー（数字）を掛けたものを持ってコンバージ（収束）するという命題を認めている。
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）メトリックスペース（計量付き空間）上の\任意の(2\)個のコンバージェント（収束する）シリーズ（級数）たちで任意の同一ドメイン（定義域）を持つものたちに対して、シリーズ（級数）で項たちを対応する項たちの合計たちとして持つものは、当該コンバージェンス（収束ポイント）たちの合計を持ってコンバージ（収束）するという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のアブソリュートにコンバージェント（絶対収束する）ダブルシリーズ（二重級数）に対して、シリーズ（級数）で合計たち順序たちが変更されたものたちは、同一コンバージェンス（収束ポイント）へコンバージ（収束）するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J_1\): \(\subseteq \mathbb{N}\)
\(J_2\): \(\subseteq \mathbb{N}\)
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間） }\)
\(s\): \(: J_1 \times J_2 \to \mathbb{R}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(\sum_{j_1 \in J_1} \sum_{j_2 \in J_2} \vert s (j_1, j_2) \vert = r' \in \mathbb{R}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists r \in \mathbb{R} (\sum_{j_1 \in J_1} \sum_{j_2 \in J_2} s (j_1, j_2) = \sum_{j_2 \in J_2} \sum_{j_1 \in J_1} s (j_1, j_2) = r)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_m\}} \vert s (j_1, j_2) \vert \le r'\)および\(\sum_{j_1 \in J_1} \vert s (j_1, j_2) \vert = r_{j_2} \in \mathbb{R}\)であることを見る; ステップ2: \(\sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_n\}} \sum_{j_1 \in J_1} \vert s (j_1, j_2) \vert \le r'\)および\(\sum_{j_2 \in J_2} \sum_{j_1 \in J_1} \vert s (j_1, j_2) \vert = r'' \le r'\)であることを見る; ステップ3: \(r' \le r''\)であることを見る; ステップ4: \(r' = r''\)であることを結論する; ステップ5: \(\sum_{j_1 \in J_1} \sum_{j_2 \in J_2} s (j_1, j_2) = \sum_{j_1 \in J_1} \sum_{j_2 \in J_2} 1 / 2 (\vert s (j_1, j_2) \vert + s (j_1, j_2)) - \sum_{j_1 \in J_1} \sum_{j_2 \in J_2} 1 / 2 (\vert s (j_1, j_2) \vert - s (j_1, j_2)) = \sum_{j_2 \in J_2} \sum_{j_1 \in J_1} 1 / 2 (\vert s (j_1, j_2) \vert + s (j_1, j_2)) - \sum_{j_2 \in J_2} \sum_{j_1 \in J_1} 1 / 2 (\vert s (j_1, j_2) \vert - s (j_1, j_2)) = \sum_{j_2 \in J_2} \sum_{j_1 \in J_1} s (j_1, j_2)\)であることを見る。
ステップ1:
\(\vert s (j_1, j_2) \vert \le \sum_{j_2 \in J_2} \vert s (j_1, j_2) \vert\)、したがって、各\(m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(\sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_m\}} \vert s (j_1, j_2) \vert \le \sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_m\}} \sum_{j_2 \in J_2} \vert s (j_1, j_2) \vert \le r'\)。
したがって、\(\sum_{j_1 \in J_1} \vert s (j_1, j_2) \vert = r_{j_2} \in \mathbb{R}\)。
ステップ2:
各\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(\sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_n\}} \sum_{j_1 \in J_1} \vert s (j_1, j_2) \vert \le r'\)であることを見よう。
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
\(\vert J_1 \vert = m\)である時は、\(m_{j_2} := m\)および\(u_{j_2, m_{j_2}} := r_{j_2} - \sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_{m_{j_2}}\}} \vert s (j_1, j_2) \vert = 0\)としよう。
そうでない時は、以下を満たすある\(N_{j_2} \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、つまり、\(N_{j_2} \lt m_{j_2}\)を満たす各\(m_{j_2} \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(r_{j_2} - \sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_{m_{j_2}}\}} \vert s (j_1, j_2) \vert \lt \epsilon / n\)、がある、そして、\(u_{j_2, m_{j_2}} := r_{j_2} - \sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_{m_{j_2}}\}} \vert s (j_1, j_2) \vert\)としよう。
いずれにせよ、\(u_{j_2, m_{j_2}} \le \epsilon / n\)。
\(\sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_n\}} \sum_{j_1 \in J_1} \vert s (j_1, j_2) \vert = \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_n\}} r_{j_2} = \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_n\}} ((\sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_{m_{j_2}}\}} \vert s (j_1, j_2) \vert) + u_{j_2, m_{j_2}}) = \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_n\}} \sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_{m_{j_2}}\}} \vert s (j_1, j_2) \vert + \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_n\}} u_{j_2, m_{j_2}} \le \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_n\}} \sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_{m_{j_2}}\}} \vert s (j_1, j_2) \vert + \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_n\}} \epsilon / n = \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_n\}} \sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_{m_{j_2}}\}} \vert s (j_1, j_2) \vert + \epsilon \le r' + \epsilon\)。
したがって、\(\sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_n\}} \sum_{j_1 \in J_1} \vert s (j_1, j_2) \vert \le r'\)、任意のリアルナンバー（実数）は別の任意のリアルナンバー（実数）以下である、もしも、それは、後者プラス任意のポジティブ（正）リアルナンバー（実数）以下である場合、という命題によって。
したがって、\(\sum_{j_2 \in J_2} \sum_{j_1 \in J_1} \vert s (j_1, j_2) \vert = r'' \le r'\)。
ステップ3:
\(r' = \sum_{j_1 \in J_1} \sum_{j_2 \in J_2} \vert s (j_1, j_2) \vert \le r''\)、ステップ1およびステップ2の対称的論理によって。
ステップ4:
したがって、\(r' = r''\)。
ステップ5:
\(\sum_{j_1 \in J_1} \sum_{j_2 \in J_2} 1 / 2 (\vert s (j_1, j_2) \vert + s (j_1, j_2))\)のことを考えよう。
各\(j_1 \in J_1\)および\(j_2 \in J_2\)に対して、\(0 \le 1 / 2 (\vert s (j_1, j_2) \vert + s (j_1, j_2)) \le \vert s (j_1, j_2) \vert\)。
したがって、\(\sum_{j_1 \in J_1} \sum_{j_2 \in J_2} 1 / 2 (\vert s (j_1, j_2) \vert + s (j_1, j_2)) = \sum_{j_1 \in J_1} \sum_{j_2 \in J_2} (1 / 2 (\vert s \vert + s)) (j_1, j_2) = \sum_{j_2 \in J_2} \sum_{j_1 \in J_1} (1 / 2 (\vert s \vert + s)) (j_1, j_2) = \sum_{j_2 \in J_2} \sum_{j_1 \in J_1} 1 / 2 (\vert s (j_1, j_2) \vert + s (j_1, j_2)) = r_1 \in \mathbb{R}\)、ステップ4によって。
\(\sum_{j_1 \in J_1} \sum_{j_2 \in J_2} 1 / 2 (\vert s (j_1, j_2) \vert - s (j_1, j_2))\)のことを考えよう。
各\(j_1 \in J_1\)および\(j_2 \in J_2\)に対して、\(0 \le 1 / 2 (\vert s (j_1, j_2) \vert - s (j_1, j_2)) \le \vert s (j_1, j_2) \vert\)。
したがって、\(\sum_{j_1 \in J_1} \sum_{j_2 \in J_2} 1 / 2 (\vert s (j_1, j_2) \vert - s (j_1, j_2)) = \sum_{j_1 \in J_1} \sum_{j_2 \in J_2} (1 / 2 (\vert s \vert - s)) (j_1, j_2) = \sum_{j_2 \in J_2} \sum_{j_1 \in J_1} (1 / 2 (\vert s \vert - s)) (j_1, j_2) = \sum_{j_2 \in J_2} \sum_{j_1 \in J_1} 1 / 2 (\vert s (j_1, j_2) \vert - s (j_1, j_2)) = r_2 \in \mathbb{R}\)、ステップ4によって。
逐次的に\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の任意のコンバージェント（収束する）シリーズ（級数）および任意のリアルナンバー（実数）に対して、シリーズ（級数）で項たちを対応する項たちに当該ナンバー（数字）を掛けたものたちとして持つものは、当該コンバージェンス（収束ポイント）に当該ナンバー（数字）を掛けたものを持ってコンバージ（収束）するという命題および\(1\)-ディメンショナル（次元）メトリックスペース（計量付き空間）上の\任意の(2\)個のコンバージェント（収束する）シリーズ（級数）たちで任意の同一ドメイン（定義域）を持つものたちに対して、シリーズ（級数）で項たちを対応する項たちの合計たちとして持つものは、当該コンバージェンス（収束ポイント）たちの合計を持ってコンバージ（収束）するという命題によって、\(r_1 - r_2 = \sum_{j_1 \in J_1} \sum_{j_2 \in J_2} 1 / 2 (\vert s (j_1, j_2) \vert + s (j_1, j_2)) - \sum_{j_1 \in J_1} \sum_{j_2 \in J_2} 1 / 2 (\vert s (j_1, j_2) \vert - s (j_1, j_2)) = \sum_{j_1 \in J_1} (\sum_{j_2 \in J_2} 1 / 2 (\vert s (j_1, j_2) \vert + s (j_1, j_2)) - \sum_{j_2 \in J_2} 1 / 2 (\vert s (j_1, j_2) \vert - s (j_1, j_2))) = \sum_{j_1 \in J_1} (\sum_{j_2 \in J_2} (1 / 2 (\vert s (j_1, j_2) \vert + s (j_1, j_2)) - 1 / 2 (\vert s (j_1, j_2) \vert - s (j_1, j_2))) = \sum_{j_1 \in J_1} \sum_{j_2 \in J_2} s (j_1, j_2)\)。
同様に、\(r_1 - r_2 = \sum_{j_2 \in J_2} \sum_{j_1 \in J_1} 1 / 2 (\vert s (j_1, j_2) \vert + s (j_1, j_2)) - \sum_{j_2 \in J_2} \sum_{j_1 \in J_1} 1 / 2 (\vert s (j_1, j_2) \vert - s (j_1, j_2)) = \sum_{j_2 \in J_2} \sum_{j_1 \in J_1} s (j_1, j_2)\)。
したがって、\(r_1 - r_2 = \sum_{j_1 \in J_1} \sum_{j_2 \in J_2} s (j_1, j_2) = \sum_{j_2 \in J_2} \sum_{j_1 \in J_1} s (j_1, j_2)\)。
