トポロジカルスペース（空間）でファイナイト（有限）数サブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）であるものに対して、サブスペース（部分空間）たちのインターセクション（共通集合）のサブセット（部分集合）で各サブスペース（部分空間）上でオープン（開）であるものはベーススペース（空間）上でオープン（開）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）で任意のファイナイト（有限）数サブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）であるものに対して、当該サブスペース（部分空間）たちのインターセクション（共通集合）の任意のサブセット（部分集合）で各サブスペース（部分空間）上でオープン（開）であるものは当該ベーススペース（空間）上でオープン（開）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{T_j \subseteq T \text{ で、サブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの } \vert j \in J\}\): で、以下を満たすもの、つまり、\(\cup_{j \in J} T_j = T\)
\(S\): \(\subseteq \cap_{j \in J} T_j\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall j \in J (S \in \{T_j \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\})\)
\(\implies\)
\(S \in \{T \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(j \in J\)に対して、\(S = U_j \cap T_j\)、あるオープン（開）\(U_j \subseteq T\)に対して、であることを見、\(S = \cap_{j \in J} U_j\)であることを見る。
ステップ1:
各\(j \in J\)に対して、\(S = U_j \cap T_j\)、ここで、\(U_j \subseteq T\)はオープン（開）、である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。
\(S = \cap_{j \in J} U_j\)であることを見よう。
各\(s \in S\)に対して、\(s \in U_j\)、各\(j \in J\)に対して、したがって、\(s \in \cap_{j \in J} U_j\)。
したがって、\(S \subseteq \cap_{j \in J} U_j\)。
各\(t \in \cap_{j \in J} U_j\)に対して、\(T = \cup_{j \in J} T_j\)であるから、\(t \in T_j\)、ある\(j \in J\)に対して、したがって、\(t \in T_j \cap U_j\)、その\(j\)に対して、したがって、\(t \in U_j \cap T_j = S\)。
したがって、\(\cap_{j \in J} U_j \subseteq S\)。
したがって、\(S = \cap_{j \in J} U_j\)。
\(S = \cap_{j \in J} U_j\)は\(T\)上でオープン（開）である、オープンサブセット（開部分集合）たちのあるファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）として。
