プロバビリティースペース（確率空間）、イベント（事象）たちのインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）、イベント（事象）たちのコンプリメント（補集合）たちのインデックス付けされたセット（集合）に対して、インデックスセット（集合）のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）および各インデックスに対する第1インデックス付けされたセット（集合）または第2インデックス付けされたセット（集合）の要素に対して、要素たちのインターセクション（共通集合）のメジャー（測度）は要素たちのメジャー（測度）たちのプロダクトであることの記述/証明
話題
About: メジャースペース（測度空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロバビリティースペース（確率空間）のイベント（事象）たちのインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、任意のプロバビリティースペース（確率空間）およびイベント（事象）たちの任意のインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）に対して、当該イベント（事象）たちのコンプリメント（補集合）たちのインデックス付けされたセット（集合）はインディペンデント（独立）であるという命題を知っている。
- 読者は、任意のセット（集合）マイナス任意のセット（集合）と任意のセット（集合）のインターセクション（共通集合）は第1セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）マイナス第2セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）であるかもしれない数のサブセット（部分集合）たち、のコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のプロバビリティースペース（確率空間）およびイベント（事象）たちの任意のインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）に対して、いくつかのファイナイト（有限）数要素たちのユニオン（和集合）を取ることによるイベント（事象）たちのインデックス付けされたセット（集合）はインディペンデント（独立）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のプロバビリティースペース（確率空間）およびイベント（事象）たちの任意のインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）に対して、当該インデックス付けされたセット（集合）の任意のファイナイト（有限）インデックス付けされたサブセット（部分集合）に対して、\(1\)マイナス当該インデックス付けされたサブセット（部分集合）のユニオン（和集合）のプロバビリティー（確率）は、\(1\)マイナス当該インデックス付けされたサブセット（部分集合）の要素たちのプロバビリティー（確率）たちのプロダクトであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のプロバビリティースペース（確率空間）、イベント（事象）たちの任意のインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）、当該イベント（事象）たちのコンプリメント（補集合）たちのインデックス付けされたセット（集合）に対して、当該インデックスセット（集合）の任意のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）および当該サブセット（部分集合）の各インデックスに対する第1インデックス付けされたセット（集合）または第2インデックス付けされたセット（集合）の任意の要素に対して、当該要素たちのインターセクション（共通集合）のメジャー（測度）は当該要素たちのメジャー（測度）たちのプロダクトであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((M, A, \mu)\): \(\in \{\text{ 全てのプロバビリティースペース（確率空間）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\(S\): \(= \{a_j \in A\}_{j \in J}\), \(\in \{\text{ 全ての、イベント（事象）たちのインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）たち }\}\)
\(\widetilde{S}\): \(= \{M \setminus a_j\}_{j \in J}\), \(\in \{\text{ 全ての、イベント（事象）たちのインデックス付けされたセット（集合）たち }\}\)
\(J^`\): \(\in \{\text{ の全てのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たち } J\}\)
\(\{b_j \in \{a_j, M \setminus a_j\}\}_{j \in J^`}\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(\mu (\cap_{j \in J^`} b_j) = \prod_{j \in J^`} \mu (b_j)\)
//
2: 注
本命題は、"\((S \biguplus \widetilde{S})_{j \in \{1, 2\} \times J}\)がインディペンデント（独立）である"とは主張しない、それは、一般に真ではない: \(S \biguplus \widetilde{S}\)は、\((1, j)\)は\(a_j\)をインデックス付けし\((2, j)\)は\(M \setminus a_j\)をインデックス付けするようにインデックス付けされている。
それは、なぜなら、\(\mu (a_j \cap (M \setminus a_j)) = \mu (a_j) \mu (M \setminus a_j)\)は一般に成立しない: \(a_j \cap (M \setminus a_j) = \emptyset\)、したがって、\(\mu (a_j \cap (M \setminus a_j)) = 0\)、それは、\(\mu (a_j) \mu (M \setminus a_j)\)に等しくない、一般に: 各\(l \neq m\)に対する\(b_l\)および\(b_m\)が、同一\(j \in J\)のものたちでないということが肝要である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\widetilde{S}\)はインディペンデント（独立）であることを見る; ステップ2: \(b_j\)たちの内に\(\widetilde{S}\)からのものが無いケースおよび\(b_j\)たちの全てが\(\widetilde{S}\)からのものであるケースに対処する; ステップ3: それを、\(b_j\)たちの内の\(1\)個だけが\(\widetilde{S}\)からのものである時に対して証明する; ステップ4: それを、他のケースたちに対して証明する; ステップ5: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(\widetilde{S}\)はインディペンデント（独立）である、任意のプロバビリティースペース（確率空間）およびイベント（事象）たちの任意のインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）に対して、当該イベント（事象）たちのコンプリメント（補集合）たちのインデックス付けされたセット（集合）はインディペンデント（独立）であるという命題によって。
ステップ2:
\(b_j\)たちの内に\(\widetilde{S}\)からのものが無い時、\(\mu (\cap_{j \in J^`} b_j) = \prod_{j \in J^`} \mu (b_j)\)が成立する、なぜなら、それは、\(S\)がインディペンデント（独立）であることから直接に来る。
\(b_j\)たちの全てが\(\widetilde{S}\)からのものである時、\(\mu (\cap_{j \in J^`} b_j) = \prod_{j \in J^`} \mu (b_j)\)が成立する、なぜなら、それは、\(\widetilde{S}\)がインディペンデント（独立）であることから直接に来る。
ステップ3:
\(b_j\)たちの内の\(1\)個のみが\(\widetilde{S}\)からのものであると仮定しよう。
\(J^` = \{j_1, ..., j_m\}\)としよう。
\(b_{j_m} = M \setminus a_{j_m}\)としよう、一般性を失うことなく: \(M \setminus a_j\)の位置は重要でない、なぜなら、インターセクション（共通集合）およびプロダクトのオペレーションたちはコミュータティブ（可換）である。
\(\mu (\cap_{j \in J^`} b_j) = \mu (a_{j_1} \cap ... \cap a_{j_{m - 1}} \cap (M \setminus a_{j_m})) = \mu ((a_{j_1} \cap ... \cap a_{j_{m - 1}} \cap M) \setminus (a_{j_1} \cap ... \cap a_{j_{m - 1}} \cap a_{j_m}))\)、任意のセット（集合）マイナス任意のセット（集合）と任意のセット（集合）のインターセクション（共通集合）は第1セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）マイナス第2セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）であるという命題によって。
\(= \mu ((a_{j_1} \cap ... \cap a_{j_{m - 1}}) \setminus (a_{j_1} \cap ... \cap a_{j_{m - 1}} \cap a_{j_m})) = \mu (a_{j_1} \cap ... \cap a_{j_{m - 1}}) - \mu (a_{j_1} \cap ... \cap a_{j_{m - 1}} \cap a_{j_m})\)、なぜなら、\(a_{j_1} \cap ... \cap a_{j_{m - 1}} \cap a_{j_m} \subseteq a_{j_1} \cap ... \cap a_{j_{m - 1}}\)。
\(= \mu (a_{j_1}) ... \mu (a_{j_{m - 1}}) - \mu (a_{j_1}) ... \mu (a_{j_{m - 1}}) \mu (a_{j_m})\)、なぜなら、\(S\)はインディペンデント（独立）である。
\(= \mu (a_{j_1}) ... \mu (a_{j_{m - 1}}) (1 - \mu (a_{j_m})) = \mu (a_{j_1}) ... \mu (a_{j_{m - 1}}) \mu (M \setminus a_{j_m})\)。
\(= \prod_{j \in J^`} \mu (b_j)\)。
したがって、\(\mu (\cap_{j \in J^`} b_j) = \prod_{j \in J^`} \mu (b_j)\)は成立する、\(b_j\)たちの内の\(1\)個だけが\(\widetilde{S}\)からのものである時。
ステップ4:
\(J^` = \{j_1, ..., j_m\}\)としよう。
\(b_{j_1} = a_{j_1}, ..., b_{j_n} = a_{j_n}, b_{j_{n + 1}} = M \setminus a_{j_{n + 1}}, ..., b_{j_m} = M \setminus a_{j_m}\)であると仮定しよう、一般性を失うことなく: \(M \setminus a_j\)たちの位置たちは重要でない、なぜなら、インターセクション（共通集合）およびプロダクトのオペレーションたちはコミュータティブ（可換）である。
\(\mu (\cap_{j \in J^`} b_j) = \mu (a_{j_1} \cap ... \cap a_{j_n} \cap (M \setminus a_{j_{n + 1}}) \cap ... \cap (M \setminus a_{j_m})) = \mu (a_{j_1} \cap ... \cap a_{j_n} \cap (M \setminus (a_{j_{n + 1}} \cup ... \cup a_{j_m})))\)、任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）であるかもしれない数のサブセット（部分集合）たち、のコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題によって。
任意のプロバビリティースペース（確率空間）およびイベント（事象）たちの任意のインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）に対して、いくつかのファイナイト（有限）数要素たちのユニオン（和集合）を取ることによるイベント（事象）たちのインデックス付けされたセット（集合）はインディペンデント（独立）であるという命題およびステップ3によって、\(= \mu (a_{j_1}) ... \mu (a_{j_n}) \mu (M \setminus (a_{j_{n + 1}} \cup ... \cup a_{j_m})) = \mu (a_{j_1}) ... \mu (a_{j_n}) (1 - \mu (a_{j_{n + 1}} \cup ... \cup a_{j_m})) = \mu (a_{j_1}) ... \mu (a_{j_n}) (1 - \mu (a_{j_{n + 1}})) ... (1 - \mu (a_{j_m}))\)、任意のプロバビリティースペース（確率空間）およびイベント（事象）たちの任意のインディペンデント（独立）インデックス付けされたセット（集合）に対して、当該インデックス付けされたセット（集合）の任意のファイナイト（有限）インデックス付けされたサブセット（部分集合）に対して、\(1\)マイナス当該インデックス付けされたサブセット（部分集合）のユニオン（和集合）のプロバビリティー（確率）は、\(1\)マイナス当該インデックス付けされたサブセット（部分集合）の要素たちのプロバビリティー（確率）たちのプロダクトであるという命題によって。
\(= \mu (a_{j_1}) ... \mu (a_{j_n}) \mu (M \setminus a_{j_{n + 1}}) ... \mu (M \setminus a_{j_m})\)。
\(= \prod_{j \in J^`} \mu (b_j)\)。
ステップ5:
したがって、任意のケースにおいて、\(\mu (\cap_{j \in J^`} b_j) = \prod_{j \in J^`} \mu (b_j)\)は成立する。
