\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上のコンバージェント（収束する）シーケンス（列）およびリアルナンバー（実数）に対して、シーケンス（列）で要素たちを対応する要素たちにナンバー（数）に掛けたものたちとして持つものは、コンバージェンス（収束ポイント）にナンバー（数）を掛けたものを持ってコンバージ（収束）することの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のコンバージェント（収束する）シーケンス（列）および任意のリアルナンバー（実数）に対して、シーケンス（列）で要素たちを対応する要素たちに当該ナンバー（数）に掛けたものたちとして持つものは、当該コンバージェンス（収束ポイント）に当該ナンバー（数）を掛けたものを持ってコンバージ（収束）するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\subseteq \mathbb{N}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(J \neq \emptyset\)
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間） }\)
\(s\): \(: J \to \mathbb{R}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(lim s = r \in \mathbb{R}\)
\(r'\): \(\in \mathbb{R}\)
\(r' s\): \(: J \to \mathbb{R}, j \mapsto r' s (j)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(lim r' s = r' r \in \mathbb{R}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(J\)がファイナイト（有限）であるケースおよび\(r' = 0\)であるケースに対処し、それ以降は、そうでないと仮定する; ステップ2: 各\(\epsilon\)に対して、以下を満たすある\(N\)、つまり、各\(N \lt n\)に対して、\(\vert r - s (J_n) \vert \lt \epsilon / \vert r' \vert\)、を取る; ステップ3: 各\(N \lt n\)に対して、\(\vert r' r - r' s (J_n) \vert \lt \epsilon\)であることを見る。
ステップ1:
\(\vert J \vert = n \in \mathbb{N}\)である時は、それは成立する、なぜなら、\(lim r' s = r' s (J_n) = r' r\)。
これ以降は、そうでないと仮定しよう。
\(r' = 0\)であると仮定しよう。
各\(j \in J\)に対して、\(r' s (j) = 0 s (j) = 0\)、したがって、\(lim r' s = 0\)。
\(r' r = 0 r = 0\)。
したがって、\(lim r' s = r' r \in \mathbb{R}\)。
これ以降は、\(r' \neq 0\)であると仮定しよう。
ステップ2:
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
以下を満たすある\(N \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(\vert r - s (J_n) \vert \lt \epsilon / \vert r' \vert\)、がある、コンバージェンス（収束ポイント）の定義によって。
ステップ3:
\(N \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(\vert r' r - r' s (J_n) \vert = \vert r' (r - s (J_n)) \vert = \vert r' \vert \vert r - s (J_n) \vert \lt \vert r' \vert \epsilon / \vert r' \vert = \epsilon\)。
それが意味するのは、\(lim r' s = r' r \in \mathbb{R}\)。
