\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の\(2\)個のコンバージェント（収束する）シーケンス（列）たちで同一ドメイン（定義域）を持つものたちに対して、シーケンス（列）で要素たちを対応する要素たちの合計たちとして持つものは、コンバージェンス（収束ポイント）たちの合計を持ってコンバージ（収束）することの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意の\(2\)個のコンバージェント（収束する）シーケンス（列）たちで任意の同一ドメイン（定義域）を持つものたちに対して、シーケンス（列）で要素たちを対応する要素たちの合計たちとして持つものは、当該コンバージェンス（収束ポイント）たちの合計を持ってコンバージ（収束）するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\subseteq \mathbb{N}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(J \neq \emptyset\)
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間） }\)
\(s_1\): \(: J \to \mathbb{R}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(lim s_1 = r_1 \in \mathbb{R}\)
\(s_2\): \(: J \to \mathbb{R}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(lim s_2 = r_2 \in \mathbb{R}\)
\(s_1 + s_2\): \(: J \to \mathbb{R}, j \mapsto s_1 (j) + s_2 (j)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(lim (s_1 + s_2) = r_1 + r_2 \in \mathbb{R}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(J\)がファイナイト（有限）であるケースに対処し、それ以降は、そうでないと仮定する; ステップ2: 各\(\epsilon\)に対して、以下を満たすある\(N_1\)、つまり、各\(N_1 \lt n\)に対して、\(\vert r_1 - s_1 (J_n) \vert \lt \epsilon / 2\)、および以下を満たすある\(N_2\)、つまり、各\(N_2 \lt n\)に対して、\(\vert r_2 - s_2 (J_n) \vert \lt \epsilon / 2\)、を取る; ステップ3: 各\(N_1, N_2 \lt n\)に対して、\(\vert r_1 + r_2 - (s_1 + s_2) (J_n) \vert \lt \epsilon\)であることを見る。
ステップ1:
\(\vert J \vert = n \in \mathbb{N}\)である時は、それは成立する、なぜなら、\(lim (s_1 + s_2) = (s_1 + s_2) (J_n) = s_1 (J_n) + s_2 (J_n) = r_1 + r_2\)。
これ以降は、そうでないと仮定しよう。
ステップ2:
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
以下を満たすある\(N_1 \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N_1 \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(\vert r_1 - s_1 (J_n) \vert \lt \epsilon / 2\)、がある、コンバージェンス（収束ポイント）の定義によって。
以下を満たすある\(N_2 \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N_2 \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(\vert r_2 - s_2 (J_n) \vert \lt \epsilon / 2\)、がある、コンバージェンス（収束ポイント）の定義によって。
ステップ3:
\(N_1, N_2 \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(\vert r_1 + r_2 - (s_1 + s_2) (J_n) \vert = \vert r_1 - s_1 (J_n) + r_2 - s_2 (J_n) \vert \le \vert r_1 - s_1 (J_n) \vert + \vert r_2 - s_2 (J_n) \vert \lt \epsilon / 2 + \epsilon / 2 = \epsilon\)。
それが意味するのは、\(lim (s_1 + s_2) = r_1 + r_2 \in \mathbb{R}\)。
