マップ（写像）およびそのエクステンション（拡張）で拡張されたエリアを元のコドメイン（余域）の外へマップするものに対して、元のドメイン（定義域）のサブセット（部分集合）の元のマップ（写像）イメージ（像）は、サブセット（部分集合）と拡張されたエリアのユニオン（和集合）のエクステンション（拡張）イメージ（像）と元のコドメイン（余域）のインターセクション（共通集合）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コドメイン（余域）のサブセット（部分集合）のマップ（写像）プリイメージ（前像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のマップ（写像）およびその任意のエクステンション（拡張）で拡張されたエリアを元のコドメイン（余域）の外へマップするものに対して、元のドメイン（定義域）の任意のサブセット（部分集合）の元のマップ（写像）イメージ（像）は、当該サブセット（部分集合）と拡張されたエリアのユニオン（和集合）のエクステンション（拡張）イメージ（像）と元のコドメイン（余域）のインターセクション（共通集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S'_1\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S'_2\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S_1\): \(\subseteq S'_1\)
\(S_2\): \(\subseteq S'_2\)
\(f\): \(: S_1 \to S_2\)
\(f'\): \(: S'_1 \to S'_2\)で、以下を満たすもの、つまり、\(f' (S'_1 \setminus S_1) \subseteq S'_2 \setminus S_2\)
\(S\): \(\subseteq S_1\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f (S) = f' (S \cup (S'_1 \setminus S_1)) \cap S_2\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f (S) \subseteq f' (S \cup (S'_1 \setminus S_1)) \cap S_2\)であることを見る; ステップ2: \(f' (S \cup (S'_1 \setminus S_1)) \cap S_2 \subseteq f (S)\)であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
各\(p \in f (S)\)に対して、\(p = f (s)\)、ある\(s \in S\)に対して、\(p = f (s) = f' (s) \in f' (S \cup (S'_1 \setminus S_1)) \cap S_2\)。
したがって、\(f (S) \subseteq f' (S \cup (S'_1 \setminus S_1)) \cap S_2\)。
ステップ2:
各\(p \in f' (S \cup (S'_1 \setminus S_1)) \cap S_2\)に対して、\(p = f' (s)\)、ある\(s \in S \cap S_1\)に対して、なぜなら、\(f' (S'_1 \setminus S_1) \subseteq S'_2 \setminus S_2\)、したがって、\(p = f' (s) = f (s)\)、ここで、\(s \in S \cap S_1 \subseteq S\)、したがって、\(p \in f (S)\)。
したがって、\(f' (S \cup (S'_1 \setminus S_1)) \cap S_2 \subseteq f (S)\)。
ステップ3:
したがって、\(f (S) = f' (S \cup (S'_1 \setminus S_1)) \cap S_2\)。
