ローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち間プロパーコンティニュアスマップ（連続写像）はクローズド（閉）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、プロパーマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、クローズドマップ（閉写像）の定義を知っている。
- 読者は、ローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の\(1\)-ポイントコンパクト化の定義を知っている。
- 読者は、任意のローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、当該\(1\)-ポイントコンパクト化のトポロジーは、当該\(1\)-ポイントが追加されたセット（集合）をコンパクトハウスドルフにし元のスペース（空間）をサブスペース（部分空間）として持つ唯一のトポロジーであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）およびその任意のエクステンション（拡張）で拡張されたエリアを元のコドメイン（余域）の外へマップするものに対して、エクステンション（拡張）コドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）のエクステンション（拡張）プリイメージ（前像）は、当該サブセット（部分集合）と元のコドメイン（余域）のインターセクション（共通集合）の元のマップ（写像）プリイメージ（前像）と当該サブセット（部分集合）マイナス元のコドメイン（余域）のエクステンション（拡張）プリイメージ（前像）のユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）マイナス任意のサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は第1サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）マイナス第2サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）のコドメイン（余域）全体のプリイメージ（前像）はドメイン（定義域）全体であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）マイナス任意のサブセット（部分集合）は、（前者サブセット（部分集合）たちの内の各々マイナス後者サブセット（部分集合））たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）およびその任意のエクステンション（拡張）で拡張されたエリアを元のコドメイン（余域）の外へマップするものに対して、元のドメイン（定義域）の任意のサブセット（部分集合）の元のマップ（写像）イメージ（像）は、当該サブセット（部分集合）と拡張されたエリアのユニオン（和集合）のエクステンション（拡張）イメージ（像）と元のコドメイン（余域）のインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、任意のサブセット（部分集合）マイナス任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）は、第1サブセット（部分集合）マイナス第2のかたまりのサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）マイナス任意のセット（集合）と任意のセット（集合）のインターセクション（共通集合）は第1セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）マイナス第2セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のコンティニュアスマップ（連続写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）のイメージ（像）は当該コドメイン（余域）のコンパクトサブセット（部分集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち間任意のプロパーコンティニュアスマップ（連続写像）はクローズド（閉）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのプロパーマップ（写像）たち }\} \cap \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのクローズドマップ（閉写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(1\)-ポイントコンパクト化たち\({T_1}^+\)および\({T_2}^+\)、\(f\)のコンティニュアス（連続）エクステンション（拡張）\(f': {T_1}^+ \to {T_2}^+\)を取る; ステップ2: 各クローズド（閉）\(C_1 \subseteq T_1\)に対して、\(f (C_1) = f' (C_1 \cup \{\infty\}) \cap T_2\)は\(T_2\)上でクローズド（閉）であることを見る。
ステップ1:
\(T_1\)の\(1\)-ポイントコンパクト化\({T_1}^+\)および\(T_2\)の\(1\)-ポイントコンパクト化\({T_2}^+\)を取ろう。
\({T_1}^+\)および\({T_2}^+\)は、\(T_1\)および\(T_2\)がそれらのトポロジカルサブスペース（部分空間）たちである何らかのコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たちである、任意のローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、当該\(1\)-ポイントコンパクト化のトポロジーは、当該\(1\)-ポイントが追加されたセット（集合）をコンパクトハウスドルフにし元のスペース（空間）をサブスペース（部分空間）として持つ唯一のトポロジーであるという命題によって。
\(f': {T_1}^+ \to {T_2}^+\)を、\(f\)の以下を満たすエクステンション（拡張）、つまり、\(f' (\infty) = \infty\)、として定義する。
\(f'\)はコンティニュアス（連続）であることを見よう。
\(U_2 \subseteq {T_2}^+\)を任意のオープンサブセット（開部分集合）としよう。
\(U_2\)は、\(T_2\)のあるオープンサブセット（開部分集合）であるか、\(U_2 = {T_2}^+ \setminus K\)、ここで、\(K \subseteq T_2\)はあるコンパクトサブセット（部分集合）、であるかである。
\(U_2\)が\(T_2\)のあるオープンサブセット（開部分集合）である時は、\(f'^{-1} (U_2) = f^{-1} (U_2)\)、任意のマップ（写像）およびその任意のエクステンション（拡張）で拡張されたエリアを元のコドメイン（余域）の外へマップするものに対して、エクステンション（拡張）コドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）のエクステンション（拡張）プリイメージ（前像）は、当該サブセット（部分集合）と元のコドメイン（余域）のインターセクション（共通集合）の元のマップ（写像）プリイメージ（前像）と当該サブセット（部分集合）マイナス元のコドメイン（余域）のエクステンション（拡張）プリイメージ（前像）のユニオン（和集合）であるという命題によって、それは、\(T_1\)上でオープン（開）である、なぜなら、\(f\)はコンティニュアス（連続）である、したがって、\({T_1}^+\)上でオープン（開）である。
\(U_2 = {T_2}^+ \setminus K\)である時は、\(f'^{-1} (U_2) = f'^{-1} ({T_2}^+ \setminus K) = f'^{-1} ({T_2}^+) \setminus f'^{-1} (K)\)、任意のマップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）マイナス任意のサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は第1サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）マイナス第2サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題によって、\(= {T_1}^+ \setminus f^{-1} (K)\)、任意のマップ（写像）のコドメイン（余域）全体のプリイメージ（前像）はドメイン（定義域）全体であるという命題および任意のマップ（写像）およびその任意のエクステンション（拡張）で拡張されたエリアを元のコドメイン（余域）の外へマップするものに対して、エクステンション（拡張）コドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）のエクステンション（拡張）プリイメージ（前像）は、当該サブセット（部分集合）と元のコドメイン（余域）のインターセクション（共通集合）の元のマップ（写像）プリイメージ（前像）と当該サブセット（部分集合）マイナス元のコドメイン（余域）のエクステンション（拡張）プリイメージ（前像）のユニオン（和集合）であるという命題によって、しかし、\(f^{-1} (K) \subseteq T_1\)はコンパクトである、なぜなら、\(f\)はプロパーである、したがって、\({T_1}^+ \setminus f^{-1} (K)\)は\({T_1}^+\)上でオープン（開）である。
したがって、\(f'\)はコンティニュアス（連続）である。
ステップ2:
\(C_1 \subseteq T_1\)を任意のクローズドサブセット（閉部分集合）としよう。
\(f (C_1) = f' (C_1 \cup \{\infty\}) \cap T_2\)、任意のマップ（写像）およびその任意のエクステンション（拡張）で拡張されたエリアを元のコドメイン（余域）の外へマップするものに対して、元のドメイン（定義域）の任意のサブセット（部分集合）の元のマップ（写像）イメージ（像）は、当該サブセット（部分集合）と拡張されたエリアのユニオン（和集合）のエクステンション（拡張）イメージ（像）と元のコドメイン（余域）のインターセクション（共通集合）であるという命題によって。
しかし、\(C_1 \cup \{\infty\} \subseteq {T_1}^+\)はクローズド（閉）である、なぜなら、\({T_1}^+ \setminus (C_1 \cup \{\infty\}) = ({T_1}^+ \setminus C_1) \cap ({T_1}^+ \setminus \{\infty\})\)、任意のセット（集合）に対して、任意のサブセット（部分集合）マイナス任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）は、第1サブセット（部分集合）マイナス第2のかたまりのサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題によって、\(= ({T_1}^+ \setminus C_1) \cap T_1 = ({T_1}^+ \cap T_1) \setminus (C_1 \cap T_1)\)、任意のセット（集合）マイナス任意のセット（集合）と任意のセット（集合）のインターセクション（共通集合）は第1セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）マイナス第2セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）であるという命題によって、\(= T_1 \setminus C_1\)、それは、\(T_1\)上でオープン（開）である、したがって、\({T_1}^+\)上でオープン（開）である。
したがって、\(C_1 \cup \{\infty\}\)は\({T_1}^+\)上でコンパクトである、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題によって。
\(f' (C_1 \cup \{\infty\}) \subseteq {T_2}^+\)はコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のコンティニュアスマップ（連続写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）のイメージ（像）は当該コドメイン（余域）のコンパクトサブセット（部分集合）であるという命題、したがって、\({T_2}^+\)上でクローズド（閉）である、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題によって。
したがって、\(f (C_1) = f' (C_1 \cup \{\infty\}) \cap T_2\)は\(T_2\)上でクローズド（閉）である、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
したがって、\(f\)はクローズド（閉）である。
