パーシャリーオーダードセット（半順序集合）および非空サブセット（部分集合）に対して、もしも、サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）およびサプリマム（上限）が存在する場合、インフィマム（下限）はサプリマム（上限）以下であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）および任意の非空サブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）およびサプリマム（上限）が存在する場合、インフィマム（下限）はサプリマム（上限）以下であるという命題を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S'\): \(\in \{\text{ 全てのパーシャリーオーダードセット（半順序集合）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq S'\)で、以下を満たすもの、つまり、\(S \neq \emptyset\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists Inf (S) \land \exists Sup (S)\)
\(\implies\)
\(Inf (S) \le Sup (S)\)
//
2: 注
\(S = \emptyset\)である時は（そのケースに対処しなければならないと私たちは特に予期してはいないが）、もしも、\(Inf (S)\)および\(Sup (S)\)が存在する場合、\(Sup (S) \le Inf (S)\)、なぜなら、\(Lb (S) = Ub (S) = S'\)（パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）のローワーバウンド（下限）たちのセット（集合）の定義に対する"注"およびパーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）のアッパーバウンド（上限）たちのセット（集合）の定義に対する"注"を参照のこと）、そして、\(Sup (S) = Min (S') \le Max (S') = Inf (S)\)。
3: 注
全体戦略: ステップ1: 任意の\(s \in S\)を取り、\(Inf (S) \le s \le Sup (S)\)であることを見る。
ステップ1:
\(s \in S\)を任意のものとしよう、それは、存在する、なぜなら、\(S \neq \emptyset\)。
\(Inf (S) \le s\)、なぜなら、\(Inf (S) \in Lb (S)\)。
\(s \le Sup (S)\)、なぜなら、\(Sup (S) \in Ub (S)\)。
したがって、\(Inf (S) \le Sup (S)\)。
