リアルナンバー（実数）たちセット（集合）でカノニカル（正典）オーダリング（順序）を持つもの上のシーケンス（列）に対して、もしも、リミットスピアリア（上極限）が存在する場合、リミットインフェリア（下極限）は必ずしも存在せず、もしも、リミットインフェリア（下極限）が存在する場合、リミットスピアリア（上極限）は必ずしも存在しないことの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、リアルナンバー（実数）たちセット（集合）でカノニカル（正典）オーダリング（順序）を持つもの上のあるシーケンス（列）に対して、もしも、当該シーケンス（列）のリミットスピアリア（上極限）が存在する場合、当該シーケンス（列）のリミットインフェリア（下極限）は必ずしも存在せず、もしも、当該シーケンス（列）のリミットインフェリア（下極限）が存在する場合、当該シーケンス（列）のリミットスピアリア（上極限）は必ずしも存在しないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\subseteq \mathbb{N}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(J \neq \emptyset\)
\(\mathbb{R}\): で、カノニカル（正典）オーダリング（順序）\(\lt\)を持つもの
\(s\): \(\in \{\text{ 全てのシーケンス（列）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(Dom (s) = J\)および\(Ran (s) \subseteq \mathbb{R}\)
//
ステートメント（言明）たち:
必ずしも、以下は成立しない、つまり、"\(\exists lim sup s \implies \exists lim inf s\)"
\(\land\)
必ずしも、以下は成立しない、つまり、"\(\exists lim inf s \implies \exists lim sup s\)"
//
2: 注
私たちが、"\(lim sup s\)は存在しない"とか"\(lim inf s\)は存在しない"とか言う時、それが意味するのは、それは\(\mathbb{R}\)内に存在しないということ: それは\(\infty\)または\(- \infty\)として存在すると言う人がいるかもしれないが、\(\infty\)や\(- \infty\)は\(\mathbb{R}\)の要素ではない: その人は本当は、エクステンデッド（拡張された）リアルナンバー（実数）たちリニアリーオーダードセット（線形順序集合）\(\mathbb{R} \cup \{- \infty, \infty\}\)上のあるシーケンス（列）のことを考えているのであり、\(\mathbb{R}\)上のもののことではない、もしも、\(s\)は\(\infty\)や\(- \infty\)を取らないとしても。
あるリニアリーオーダードセット（線形順序集合）上のあるシーケンス（列）\(s\)に対して、\(lim sup s\)の存在は\(lim inf s\)の存在を含意せず、\(lim inf s\)の存在は\(lim sup s\)の存在を含意しない、なぜなら、\(\mathbb{R}\)はあるリニアリーオーダードセット（線形順序集合）である。
あるパーシャリーオーダードセット（半順序集合）上のあるシーケンス（列）\(s\)に対して、\(lim sup s\)の存在は\(lim inf s\)の存在を含意せず、\(lim inf s\)の存在は\(lim sup s\)の存在を含意しない、なぜなら、\(\mathbb{R}\)はあるパーシャリーオーダードセット（半順序集合）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(lim sup s\)は存在するが\(lim inf s\)は存在しないある例を見る; ステップ2: \(lim inf s\)は存在するが\(lim sup s\)は存在しないある例を見る。
ステップ1:
\(lim sup s\)は存在するが\(lim inf s\)は存在しないある例を見よう。
\(J = \mathbb{N}\)および\(s: j \mapsto - 1 \text{ 、 } j \text{ が偶である時 }; \mapsto - 2^j \text{ 、 } j \text{ が奇である時 }\)としよう。
すると、\(lim sup s\)は存在する、なぜなら、\(Sup (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) = - 1\)、各\(m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、そして、\(lim sup s = Inf (\{Sup (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \vert m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\}) = - 1\)。
しかし、\(Inf (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\})\)は、\(\mathbb{R}\)内に存在しない、各\(m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、したがって、\(lim inf s = Sup (\{Inf (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \vert m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\})\)は存在しない。
ステップ2:
\(lim inf s\)は存在するが\(lim sup s\)は存在しないある例を見よう。
\(J = \mathbb{N}\)および\(s: j \mapsto 1 \text{ 、 } j \text{ は偶である時 }; \mapsto 2^j \text{ 、 } j \text{ は奇である時 }\)としよう。
すると、\(lim inf s\)は存在する、なぜなら、\(Inf (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) = 1\)、各\(m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、そして、\(lim inf s = Sup (\{Inf (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \vert m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\}) = 1\)。
しかし、\(Sup (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\})\)は、\(\mathbb{R}\)内に存在しない、各\(m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、したがって、\(lim sup s = Inf (\{Sup (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たす、つまり、 } m \le n\}) \vert m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\})\)は存在しない。
