リアルナンバー（実数）たちセット（集合）上の非減少および非増加シーケンス（列）たちで第1シーケンス（列）が第2シーケンス（列）以下であるものたちに対して、第1シーケンス（列）の各要素は第2シーケンス（列）の任意の要素以下であり、第1シーケンス（列）のサプリマム（上限）は第2シーケンス（列）のインフィマム（下限）以下であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）の定義を知っている。
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより大きく、当該要素より小さい当該セット（集合）の各要素に対して、より大きい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより小さく、当該要素より大きい当該セット（集合）の各要素に対して、より小さい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のリアルナンバー（実数）は別の任意のリアルナンバー（実数）以下である、もしも、それは、後者プラス任意のポジティブ（正）リアルナンバー（実数）以下である場合、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、リアルナンバー（実数）たちセット（集合）上の任意の同一ドメイン（定義域）を持つ任意の非減少シーケンス（列）および任意の非増加シーケンス（列）で第1シーケンス（列）が第2シーケンス（列）以下であるものたちに対して、第1シーケンス（列）の各要素は第2シーケンス（列）の任意の要素以下であり、第1シーケンス（列）のサプリマム（上限）は第2シーケンス（列）のインフィマム（下限）以下であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\subseteq \mathbb{N}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(J \neq \emptyset\)
\(\mathbb{R}\): で、カノニカル（正典）オーダリング（順序）(\lt\)を持つもの
\(s\): \(\in \{\text{ 全ての非減少シーケンス（列）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(Dom (s) = J\)および\(Ran (s) \subseteq \mathbb{R}\)
\(s'\): \(\in \{\text{ 全ての非増加シーケンス（列）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(Dom (s') = J\)および\(Ran (s') \subseteq \mathbb{R}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall j \in J (s (j) \le s' (j))\)
\(\implies\)
(
\(\forall j, j' \in J (s (j) \le s' (j'))\)
\(\land\)
\(Sup (Ran (s)) \le Inf (Ran (s'))\)
)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(s (j) \le s' (j')\)であることを見る; ステップ2: 各\(\epsilon\)に対して、\(Sup (Ran (s)) - \epsilon / 2 \lt s (j)\)および\(s' (j') \lt Inf (Ran (s')) + \epsilon / 2\)であることを見る。
ステップ1:
\(j, j' \in J\)を任意のものとしよう。
\(j \le j'\)または\(j' \lt j\)。
\(j \le j'\)である時は、\(s (j) \le s (j')\)、なぜなら、\(s\)は非減少である、\(\le s' (j')\)、したがって、\(s (j) \le s' (j')\)。
\(j' \lt j\)である時は、\(s' (j) \le s' (j')\)、なぜなら、\(s'\)は非増加である、したがって、\(s (j) \le s' (j) \le s' (j')\)。
ステップ2:
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
以下を満たすある\(j \in J\)、つまり、\(Sup (Ran (s)) - \epsilon / 2 \lt s (j)\)、がある、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより大きく、当該要素より小さい当該セット（集合）の各要素に対して、より大きい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
以下を満たすある\(j' \in J\)、つまり、\(s' (j) \lt Sup (Ran (s')) + \epsilon / 2\)、がある、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより小さく、当該要素より大きい当該セット（集合）の各要素に対して、より小さい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\(Sup (Ran (s)) - \epsilon / 2 \lt s (j) \le s' (j) \lt Sup (Ran (s')) + \epsilon / 2\)、ステップ1によって。
したがって、\(Sup (Ran (s)) \lt Sup (Ran (s')) + \epsilon\)、したがって、\(Sup (Ran (s)) \le Sup (Ran (s')) + \epsilon\)。
したがって、\(Sup (Ran (s)) \le Sup (Ran (s'))\)、任意のリアルナンバー（実数）は別の任意のリアルナンバー（実数）以下である、もしも、それは、後者プラス任意のポジティブ（正）リアルナンバー（実数）以下である場合、という命題によって。
