リアルナンバー（実数）たちセット（集合）でカノニカル（正典）オーダリング（順序）を持つものおよびサブセット（部分集合）に対して、もしも、マイナスサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が存在する場合、それは、サブセット（部分集合）のマイナスインフィマム（下限）である、そして、もしも、マイナスサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が存在する場合、それは、サブセット（部分集合）のマイナスサプリマム（上限）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）の定義を知っている。
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより大きく、当該要素より小さい当該セット（集合）の各要素に対して、より大きい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより小さく、当該要素より大きい当該セット（集合）の各要素に対して、より小さい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、リアルナンバー（実数）たちセット（集合）でカノニカル（正典）オーダリング（順序）を持つものおよび任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、マイナス当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が存在する場合、それは、当該サブセット（部分集合）のマイナスインフィマム（下限）である、そして、もしも、マイナス当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が存在する場合、それは、当該サブセット（部分集合）のマイナスサプリマム（上限）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ リアルナンバー（実数）たちセット（集合） }\)で、カノニカル（正典）オーダリング（順序）を持つもの
\(S\): \(\subseteq \mathbb{R}\)
\(- S\): \(= \{- s \in \mathbb{R} \vert s \in S\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(\exists Sup (- S)\)
\(\implies\)
\(\exists Inf (S) \land Sup (- S) = - Inf (S)\)
)
\(\land\)
(
\(\exists Inf (- S)\)
\(\implies\)
\(\exists Sup (S) \land Inf (- S) = - Sup (S)\)
)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(Sup (- S)\)が存在すると仮定する; ステップ2: \(- Sup (- S)\)は、\(S\)のインフィマム（下限）であるためのコンディションたちを満たすことを見る; ステップ3: \(Inf (- S)\)は存在すると仮定する; ステップ4: \(- Inf (- S)\)は、\(S\)のサプリマム（上限）であるためのコンディションたちを満たすことを見る。
ステップ1:
\(Sup (- S)\)が存在すると仮定しよう。
Step 2: ステップ2:
各\(- s \in - S\)に対して、\(- s \le Sup (- S)\)、そして、\(0 \lt \epsilon\)を満たす各\(\epsilon \in \mathbb{R}\)に対して、以下を満たすある\(- s \in - S\)、つまり、\(Sup (- S) - \epsilon \lt - s\)、がある、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより大きく、当該要素より小さい当該セット（集合）の各要素に対して、より大きい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
したがって、各\(s \in S\)に対して、\(- s \le Sup (- S)\)、したがって、\(- Sup (- S) \le s\)、そして、\(0 \lt \epsilon\)を満たす各\(\epsilon \in \mathbb{R}\)に対して、以下を満たすある\(- s \in - S\)、つまり、\(Sup (- S) - \epsilon \lt - s\)、がある、したがって、以下を満たすある\(s \in S\)、つまり、\(s \lt - Sup (- S) + \epsilon\)、がある、それが含意するのは、\(- Sup (- S) = Inf (S)\)、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより小さく、当該要素より大きい当該セット（集合）の各要素に対して、より小さい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
したがって、\(Sup (- S) = - Inf (S)\)。
ステップ3:
\(Inf (- S)\)が存在すると仮定しよう。
ステップ4:
各\(- s \in - S\)に対して、\(Inf (- S) \le - s\)、そして、\(0 \lt \epsilon\)を満たす各\(\epsilon \in \mathbb{R}\)に対して、以下を満たすある\(- s \in - S\)、つまり、\(- s \lt Inf (- S) + \epsilon\)、がある、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより小さく、当該要素より大きい当該セット（集合）の各要素に対して、より小さい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
したがって、各\(s \in S\)に対して、\(Inf (- S) \le - s\)、したがって、\(s \le - Inf (- S)\)、そして、\(0 \lt \epsilon\)を満たす各\(\epsilon \in \mathbb{R}\)に対して、以下を満たすある\(- s \in - S\)、つまり、\(- s \lt Inf (- S) + \epsilon\)、がある、したがって、以下を満たすある\(s \in S\)、つまり、\(- Inf (- S) - \epsilon \lt s\)、がある、それが含意するのは、\(- Inf (- S) = Sup (S)\)、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより大きく、当該要素より小さい当該セット（集合）の各要素に対して、より大きい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
したがって、\(Inf (- S) = - Sup (S)\)。
